PCSI2 du lycée Fabert (METZ) – DL de arccos au point 1 ?

\(\newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\llbracket}{[\![} \newcommand{\rrbracket}{]\!]} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\U}{\mathbb{U}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\M}{\mathrm{M}} \newcommand{\DL}{\mathrm{DL}} \newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\card}{\mathrm{Card}\,} \newcommand{\Det}{\mathrm{Det}} \newcommand{\union}{\cup} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,} \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,} \newcommand{\vect}{\mathrm{vect}} \newcommand{\inter}{\cap} \newcommand{\ch}{\mathrm{ch}\,} \newcommand{\sh}{\mathrm{sh}\,} \renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,} \newcommand{\argch}{\mathrm{argch}\,} \newcommand{\argsh}{\mathrm{argsh}\,} \newcommand{\argth}{\mathrm{argth}\,} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mfrac}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}} \newcommand{\cotan}{\mathrm{cotan}\,} \newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}\,} \)

Savoir faire : Obtenir un DL d’arccos au point 1 en se ramenant à un DL d’arcsin en 0 …

Exercice : Donner le développement limité en \(0^+\), à l’ordre 3 , de \(f: x\mapsto \frac{1}{x} \arccos \frac{\sin x}{x}\).

Solution

On sait que \(\sin x\underset{x \to 0}{=} x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+\mathrm{o}\left(x^{6}\right)\) donc \(\frac{\sin x}{x}\underset{x \to 0}{=} 1-\frac{x^{2}}{6}+\frac{x^{4}}{120}+\mathrm{o}\left(x^{5}\right)\).

Problème : nous ne connaissons pas de DL de \(\arccos\) au point 1 !

Considérons

\(z:\R^*\longrightarrow \R,\ x\longmapsto \arccos \frac{\sin x}{x}=\arccos (1-y(x))\)

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CPGE du lycée Fabert -- METZ