\(\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\llbracket}{[\![}
\newcommand{\rrbracket}{]\!]}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\U}{\mathbb{U}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\M}{\mathrm{M}}
\newcommand{\DL}{\mathrm{DL}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\GL}{\mathrm{GL}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}\,}
\newcommand{\Det}{\mathrm{Det}}
\newcommand{\union}{\cup}
\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,}
\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,}
\newcommand{\vect}{\mathrm{vect}}
\newcommand{\inter}{\cap}
\newcommand{\ch}{\mathrm{ch}\,}
\newcommand{\sh}{\mathrm{sh}\,}
\renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,}
\newcommand{\argch}{\mathrm{argch}\,}
\newcommand{\argsh}{\mathrm{argsh}\,}
\newcommand{\argth}{\mathrm{argth}\,}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\mfrac}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\cotan}{\mathrm{cotan}\,}
\newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}\,}
\)
Savoir faire : Savoir vérifier si une partie d’un espace vectoriel est, ou non, un sous-espace vectoriel de cet espace.
Exercice :
Soit \(E=\mathcal{F}([0;1],\R)\) l’espace vectoriel des fonctions de \([0,1]\) dans \(\mathbb{R}\).
Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de \(E\) ?
\[\begin{align*}&E_1=\{f \in E, 2 f(0)=f(1)\}\\[10pt]
& E_2=\{f \in E,\ f(1)=f(0)+1\}\\[10pt]
&E_3=\{f \in E,\ f \geqslant 0\}\\[10pt]
&E_4=\{f \in E,\ \forall x \in \R,\ f(x) = f(1-x)\}\\[8pt]
&E_5=\{f \in E,\ f \text{ polynomiale de degré 4}\}\\[5pt]
&E_6=\{f \in E,\ f \text{ polynomiale de degré inférieur ou égal à 4}\}
\end{align*}\].
Corrigé
Ce contenu est réservé aux étudiants de PCSI2.
CPGE du lycée Fabert -- METZ
