Ce sont des sous-espaces vectoriels ?

\(\newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\llbracket}{[\![} \newcommand{\rrbracket}{]\!]} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\U}{\mathbb{U}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\M}{\mathrm{M}} \newcommand{\DL}{\mathrm{DL}} \newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\card}{\mathrm{Card}\,} \newcommand{\Det}{\mathrm{Det}} \newcommand{\union}{\cup} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,} \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,} \newcommand{\vect}{\mathrm{vect}} \newcommand{\inter}{\cap} \newcommand{\ch}{\mathrm{ch}\,} \newcommand{\sh}{\mathrm{sh}\,} \renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,} \newcommand{\argch}{\mathrm{argch}\,} \newcommand{\argsh}{\mathrm{argsh}\,} \newcommand{\argth}{\mathrm{argth}\,} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mfrac}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}} \newcommand{\cotan}{\mathrm{cotan}\,} \newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}\,} \)

Savoir faire : Savoir vérifier si une partie d’un espace vectoriel est, ou non, un sous-espace vectoriel de cet espace.

Exercice :

Soit \(E=\mathcal{F}([0;1],\R)\) l’espace vectoriel des fonctions de \([0,1]\) dans \(\mathbb{R}\).
Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de \(E\) ?
\[\begin{align*}&E_1=\{f \in E, 2 f(0)=f(1)\}\\[10pt]
& E_2=\{f \in E,\ f(1)=f(0)+1\}\\[10pt]
&E_3=\{f \in E,\ f \geqslant 0\}\\[10pt]
&E_4=\{f \in E,\ \forall x \in \R,\ f(x) = f(1-x)\}\\[8pt]
&E_5=\{f \in E,\ f \text{ polynomiale de degré 4}\}\\[5pt]
&E_6=\{f \in E,\ f \text{ polynomiale de degré inférieur ou égal à 4}\}
\end{align*}\].