\(\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\llbracket}{[\![}
\newcommand{\rrbracket}{]\!]}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\U}{\mathbb{U}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\M}{\mathrm{M}}
\newcommand{\DL}{\mathrm{DL}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\GL}{\mathrm{GL}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}\,}
\newcommand{\Det}{\mathrm{Det}}
\newcommand{\union}{\cup}
\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,}
\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,}
\newcommand{\vect}{\mathrm{vect}}
\newcommand{\inter}{\cap}
\newcommand{\ch}{\mathrm{ch}\,}
\newcommand{\sh}{\mathrm{sh}\,}
\renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,}
\newcommand{\argch}{\mathrm{argch}\,}
\newcommand{\argsh}{\mathrm{argsh}\,}
\newcommand{\argth}{\mathrm{argth}\,}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\mfrac}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\cotan}{\mathrm{cotan}\,}
\newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}\,}
\)
Savoir faire : Écrire un sous-espace vectoriel sous la forme \(F=\vect (e_1,e_2,\ldots,e_n)\).
Exercice : Soit \(n\in \mathbb{N}\). Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels sur \(\mathbb{K}=\R\) ou \(\C\) dont on explicitera une famille génératrice puis une base.
\[E=\left\{ (x_{1},..,x_{n})\in \mathbb{K}^{n},\quad x_{1}=\cdots
=x_{n}\right\} \qquad F=\left\{ (x_{1},..,x_{n})\in \mathbb{K}^{n},\quad x_{1}+\cdots
+x_{n}=0\right\}
\]
=x_{n}\right\} \qquad F=\left\{ (x_{1},..,x_{n})\in \mathbb{K}^{n},\quad x_{1}+\cdots
+x_{n}=0\right\}
\]
\[ G=\left\{ P\in \mathbb{K}_{2n}[X],\quad \forall x\in\K^*,\ x^{2n}P(1/x)=P(x)\right\}\]
