Exercice 14-023 - Sev engendré par un système de vecteurs

\(\newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\llbracket}{[\![} \newcommand{\rrbracket}{]\!]} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\U}{\mathbb{U}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\M}{\mathrm{M}} \newcommand{\DL}{\mathrm{DL}} \newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\card}{\mathrm{Card}\,} \newcommand{\Det}{\mathrm{Det}} \newcommand{\union}{\cup} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,} \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,} \newcommand{\vect}{\mathrm{vect}} \newcommand{\inter}{\cap} \newcommand{\ch}{\mathrm{ch}\,} \newcommand{\sh}{\mathrm{sh}\,} \renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,} \newcommand{\argch}{\mathrm{argch}\,} \newcommand{\argsh}{\mathrm{argsh}\,} \newcommand{\argth}{\mathrm{argth}\,} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mfrac}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}} \newcommand{\cotan}{\mathrm{cotan}\,} \newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}\,} \)

Savoir faire : Écrire un sous-espace vectoriel sous la forme \(F=\vect (e_1,e_2,\ldots,e_n)\).

Exercice : Soit \(n\in \mathbb{N}\). Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels sur \(\mathbb{K}=\R\) ou \(\C\) dont on explicitera une famille génératrice puis une base.

\[E=\left\{ (x_{1},..,x_{n})\in \mathbb{K}^{n},\quad x_{1}=\cdots
=x_{n}\right\} \qquad F=\left\{ (x_{1},..,x_{n})\in \mathbb{K}^{n},\quad x_{1}+\cdots
+x_{n}=0\right\}
\]

\[ G=\left\{ P\in \mathbb{K}_{2n}[X],\quad \forall x\in\K^*,\ x^{2n}P(1/x)=P(x)\right\}\]

Indications