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Exercice 14-046-047 – Application linéaire + Image/Noyau – partie 2

\(\newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\llbracket}{[\![} \newcommand{\rrbracket}{]\!]} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\U}{\mathbb{U}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\M}{\mathrm{M}} \newcommand{\DL}{\mathrm{DL}} \newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\card}{\mathrm{Card}\,} \newcommand{\Det}{\mathrm{Det}} \newcommand{\union}{\cup} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,} \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,} \newcommand{\vect}{\mathrm{vect}} \newcommand{\inter}{\cap} \newcommand{\ch}{\mathrm{ch}\,} \newcommand{\sh}{\mathrm{sh}\,} \renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,} \newcommand{\argch}{\mathrm{argch}\,} \newcommand{\argsh}{\mathrm{argsh}\,} \newcommand{\argth}{\mathrm{argth}\,} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mfrac}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}} \newcommand{\cotan}{\mathrm{cotan}\,} \newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}\,} \)

Savoir faire : CONCRET : déterminer le noyau et l’image d’une application linéaire [ici, un endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\)] + ABSTRAIT : stabilité du noyau et de l’image lorsque 2 endomorphismes commutent

Exercice : On considère l’application \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\), \((x, y) \mapsto(4 x-6 y, 2 x-3 y) \)

Montrer que \(f\) est un projecteur de \(\mathbb{R}^2\). Préciser son image et son noyau.

Solution

Ce contenu est réservé aux étudiants de PCSI2 du lycée Fabert de Metz

CPGE du lycée Fabert -- METZ

Exercice : Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. On considère \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de \(E\) vérifiant\[
f \circ g\underset{(*)}{=}g \circ f
\] Montrer que \(\operatorname{Ker} f\) et \(\operatorname{Im} f\) sont stables par \(g\).

Solution

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