PCSI2 du lycée Fabert (METZ) – Système libre de vecteurs + DL

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Savoir faire : CONCRET : déterminer le noyau et l’image d’une application linéaire [ici, un endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\)] + ABSTRAIT : stabilité du noyau et de l’image lorsque 2 endomorphismes commutent

Exercice : On considère l’application \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\), \((x, y) \mapsto(4 x-6 y, 2 x-3 y) \)

Montrer que \(f\) est un projecteur de \(\mathbb{R}^2\). Préciser son image et son noyau.

Solution

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CPGE du lycée Fabert -- METZ

Exercice : Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. On considère \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de \(E\) vérifiant\[
f \circ g\underset{(*)}{=}g \circ f
\] Montrer que \(\operatorname{Ker} f\) et \(\operatorname{Im} f\) sont stables par \(g\).

Solution