\(\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\llbracket}{[\![}
\newcommand{\rrbracket}{]\!]}
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\newcommand{\mfrac}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}}
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\newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}\,}
\)
Savoir faire : trouver le noyau d’une application linéaire et utiliser l’égalité des dimensions de l’e.v. de départ et de l’e.v. d’arrivée
Exercice :
- On considère l’application
\[
\begin{array}{r}
f:\\
\\
\end{array}
\left|
\begin{array}{ccl}
\R_3[X] & \longrightarrow & \R^3\\
P & \longmapsto & \big(P(-1),P(0),P(1)\big)
\end{array}
\right.
\]
Montrer que \(f\) est linéaire et déterminer \(\ker f\) et \(\rg f\). En déduire qu’il existe au moins un polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à 3 vérifiant
\begin{equation}
\label{pm1p0}
\big(P(-1)=3,\ P(0)=2 \text{ et } P(1)=1\big) .
\end{equation} - Montrer qu’il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à 2, que l’on déterminera, vérifiant (\ref{pm1p0}). En déduire tous les polynômes de degré inférieur ou égal à 3 vérifiant (\ref{pm1p0}).
- Plus généralement, on considère \(n\) réels deux à deux distincts \(a_1,\ldots,a_n\) et \(n\) réels \(b_1,\ldots,b_n\). Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à \(n-1\) vérifiant
\[
\forall k\in \llbracket 1;n\rrbracket,\ P(a_k)=b_k
\] - On considère toujours \(n\) réels deux à deux distincts \(a_1,\ldots,a_n\) et \(2n\) réels \(b_1,\ldots,b_n,c_1,\ldots,c_n\). Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à \(2n-1\) vérifiant
\[
\forall k\in \llbracket 1;n\rrbracket,\ P(a_k)=b_k\ \text{ et } \ P'(a_k)=c_k
\]
Indications
Ce contenu est réservé aux étudiants de PCSI2.
CPGE du lycée Fabert -- METZ
Solution
Ce contenu est réservé aux étudiants de PCSI2.
CPGE du lycée Fabert -- METZ
