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Savoir faire : trouver le noyau d’une application linéaire et utiliser l’égalité des dimensions de l’e.v. de départ et de l’e.v. d’arrivée

Exercice :

  1. On considère l’application
    \[
    \begin{array}{r}
    f:\\
    \\
    \end{array}
    \left|
    \begin{array}{ccl}
    \R_3[X] & \longrightarrow & \R^3\\
    P & \longmapsto & \big(P(-1),P(0),P(1)\big)
    \end{array}
    \right.
    \]
    Montrer que \(f\) est linéaire et déterminer \(\ker f\) et \(\rg f\). En déduire qu’il existe au moins un polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à 3 vérifiant
    \begin{equation}
    \label{pm1p0}
    \big(P(-1)=3,\ P(0)=2 \text{ et } P(1)=1\big) .
    \end{equation}
  2. Montrer qu’il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à 2, que l’on déterminera, vérifiant (\ref{pm1p0}). En déduire tous les polynômes de degré inférieur ou égal à 3 vérifiant (\ref{pm1p0}).
  3. Plus généralement, on considère \(n\) réels deux à deux distincts \(a_1,\ldots,a_n\) et \(n\) réels \(b_1,\ldots,b_n\). Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à \(n-1\) vérifiant
    \[
    \forall k\in \llbracket 1;n\rrbracket,\ P(a_k)=b_k
    \]
  4. On considère toujours \(n\) réels deux à deux distincts \(a_1,\ldots,a_n\) et \(2n\) réels \(b_1,\ldots,b_n,c_1,\ldots,c_n\). Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à \(2n-1\) vérifiant
    \[
    \forall k\in \llbracket 1;n\rrbracket,\ P(a_k)=b_k\ \text{ et } \ P'(a_k)=c_k
    \]
Indications

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Solution

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