Exercice 14-042 - Sont-ce des sous-espaces vectoriels ?

\(\newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\llbracket}{[\![} \newcommand{\rrbracket}{]\!]} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\U}{\mathbb{U}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\M}{\mathrm{M}} \newcommand{\DL}{\mathrm{DL}} \newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\card}{\mathrm{Card}\,} \newcommand{\Det}{\mathrm{Det}} \newcommand{\union}{\cup} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,} \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,} \newcommand{\vect}{\mathrm{vect}} \newcommand{\inter}{\cap} \newcommand{\ch}{\mathrm{ch}\,} \newcommand{\sh}{\mathrm{sh}\,} \renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,} \newcommand{\argch}{\mathrm{argch}\,} \newcommand{\argsh}{\mathrm{argsh}\,} \newcommand{\argth}{\mathrm{argth}\,} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mfrac}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}} \newcommand{\cotan}{\mathrm{cotan}\,} \newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}\,} \)

Savoir faire : Savoir vérifier si une partie d’un espace vectoriel est, ou non, un sous-espace vectoriel de cet espace.

Exercice :

Soit \(n \geqslant 2\). Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\) ?

\[\begin{align*}&F_1=\left\{\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n \,|\, x_1=0\right\}\\[10pt]
& E_2=\left\{\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n \,|\, x_1=1\right\}\\[10pt]
&E_3=\left\{\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n \,|\, x_1^2+x_2^2=0\right\}\\[10pt]
&E_4=\left\{\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n \,|\, x_1^2=x_2^2\right\}\\[8pt]
&E_5=\left\{\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n \,|\, x_1 x_2=0\right\}\\[5pt]
&E_6=\left\{\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n \,|\, \sum_{i=1}^n x_i=0\right\}\end{align*}\].

Corrigé