Exercice 01-012 + Indications – PCSI2 du lycée Fabert (METZ)

Pattern of orange citrus slices. Citrus flat lay

\(\newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\llbracket}{[\![} \newcommand{\rrbracket}{]\!]} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\U}{\mathbb{U}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\M}{\mathrm{M}} \newcommand{\DL}{\mathrm{DL}} \newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\card}{\mathrm{Card}\,} \newcommand{\Det}{\mathrm{Det}} \newcommand{\union}{\cup} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,} \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,} \newcommand{\vect}{\mathrm{vect}} \newcommand{\inter}{\cap} \newcommand{\ch}{\mathrm{ch}\,} \newcommand{\sh}{\mathrm{sh}\,} \renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,} \newcommand{\argch}{\mathrm{argch}\,} \newcommand{\argsh}{\mathrm{argsh}\,} \newcommand{\argth}{\mathrm{argth}\,} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mfrac}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}} \newcommand{\cotan}{\mathrm{cotan}\,} \newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}\,} \)

Savoir faire : rédiger une récurrence. Choix d'une récurrence simple, double ou forte.

Exercice :

On considère la suite \(\left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par
\[
\left\{\begin{array}{l}
a_0=a_1=1 \\
\forall n \in \mathbb{N}^*, a_{n+1}=a_n+\frac{2}{n+1} a_{n-1} .
\end{array}\right.
\]
Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*, 1 \leqslant a_n \leqslant n^2\).

Spoiler ALERT ! Si vous ne souhaitez pas savoir si le corrigé contient une récurrrence faible, double ou forte, NE CLIQUEZ PAS ICI ⚠︎

On va faire une démonstration par récurrence double, car on remarque dès la première lecture de l’énoncé que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), le calcul de \(a_{n+2}\) nécessite la connaissance des 2 termes précédents de la suite \(a\) c’est-à-dire \(a_{n+1}\) et \(a_{n}\) !

Éléments de corrigé