Exercice 00-073 + Indications – Mathématiques PCSI

\(\newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\llbracket}{[\![} \newcommand{\rrbracket}{]\!]} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\U}{\mathbb{U}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\M}{\mathrm{M}} \newcommand{\DL}{\mathrm{DL}} \newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\card}{\mathrm{Card}\,} \newcommand{\Det}{\mathrm{Det}} \newcommand{\union}{\cup} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,} \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,} \newcommand{\vect}{\mathrm{vect}} \newcommand{\inter}{\cap} \newcommand{\ch}{\mathrm{ch}\,} \newcommand{\sh}{\mathrm{sh}\,} \renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,} \newcommand{\argch}{\mathrm{argch}\,} \newcommand{\argsh}{\mathrm{argsh}\,} \newcommand{\argth}{\mathrm{argth}\,} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mfrac}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}} \newcommand{\cotan}{\mathrm{cotan}\,} \newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}\,} \)

Savoir faire : Étude de fonction. Dérivée, asymptote.

Exercice :
Déterminer le domaine \(D\) de définition et de dérivabilité de
\[ f: x\longmapsto x+\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right| \]
puis préciser la parité de \(f\), sa dérivée sur \(D\) et ses variations. Faire l’étude des branches infinies de la courbe \(\mathcal{C}_f\) représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.

Montrer qu’il existe un unique \(\alpha\in{]1;+\infty[}\) tel que \(f(\alpha)=0\). On donne \(\alpha\simeq 1,54\) : effectuer un tracé approximatif de \(\mathcal{C}_f\) à main levée.

Éléments de corrigé