\(\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\llbracket}{[\![}
\newcommand{\rrbracket}{]\!]}
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\newcommand{\mfrac}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\cotan}{\mathrm{cotan}\,}
\newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}\,}
\)
Savoir faire : Utiliser le théorème de la limite de la dérivée pour montrer qu’une fonction est de classe \(\mathcal{C}^1\).
On considère
\[
f: \Big] -{\dfrac{1}{2}},+\infty \Big[ \longrightarrow \R,\
x \longmapsto
\left|
\begin{array}{ll}
\dfrac{\ln (1+2x)}{x}-1 & \text{si } x \in {]-\frac{1}{2};0[}\union {] 0;+\infty [}\\
1 & \text{si } x=0
\end{array}
\right.
\]
- Montrer que \(f\) est continue sur son intervalle de définition \(\big] -{\tfrac{1}{2}},+\infty \big[\).
-
- Donner le développement limité à l’ordre \(1\) de \(f\) au voisinage de \(0\).
En déduire que \(f\) est dérivable en 0 et préciser \(f'(0)\). - Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur son intervalle de définition \(\big] -{\tfrac{1}{2}},+\infty \big[\).
- Donner le développement limité à l’ordre \(1\) de \(f\) au voisinage de \(0\).
Indications
Ce contenu est réservé aux étudiants de PCSI2.
CPGE du lycée Fabert -- METZ
