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SAV du DL n°5 de Mathématiques

Le DL n°05 porte sur la réduction des endomorphismes (mais sans le dire et sans notion abstraite), le calcul des puissances d’une matrice appliqué ensuite à l’étude de suites récurrentes.

Professeur de mathématiques en PCSI2 - Lycée Fabert (METZ)

Cet article comporte 4 commentaires

    1. Bonsoir Marius.
      Effectivement, si vous posez, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[X_n=\begin{bmatrix}u_n \\ v_n \\ w_n\end{bmatrix},\] alors vous obtenez bien \(X_{n+1}=AX_n\). Par contre, ce qui est écrit avec la matrice \(M\) n’a pas de sens … car une matrice \(A\) de taille (3,3) multipliée par une matrice de taille (3,1), cela ne peut pas donner une matrice \(M\) de taille (3,3) !
      Pour obtenir \(X_n\) en fonction de \(n\), faites une récurrence (Hypothèse de récurrence : votre dernière égalité).
      Bon courage !

  1. Bonjour monsieur, je ne vois pas comment justifier la question 3 :
    J’ai essayé d’exploiter la question 2 (en posant : (A – lambda * I)X=0) mais je n’en vois pas l’utilité vu donc j’obtiens X = 0
    J’ai posé un système d’équations en évitant de diviser par lambda (car lambda peut être égal à 0) et de poser x ou z égal à 0 mais je ne fais qu’obtenir ça…
    Bref, je suis un peu perdu.

    1. Bonjour Marius.
      La question 3 ne nécessite pas de calculs. Elle utilise ce qui a été déjà fait dans la question 2. Je m’explique :
      Pour tout \(i\in\{1,2,3 \}\), vous savez que \(A-\lambda_iI_3\) n’est pas inversible. D’après le cours, cela signifie qu’il existe \(X\in M_{31}(\mathbb{R})\) non nul tel que \( (A-\lambda_iI_3)X=0_{31}\) soit \[AX=\lambda_i X,\] ce qui répond à la question !
      Bon courage et à demain matin …

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