SAV du DL n°5 de Mathématiques
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Le DL n°05 introduit une suite de polynômes dont on étudie quelques propriétés.
Comments (1)
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Bonjour à tous !
Après quelques jours d’absence (visite de l’École Nationale des Ponts et Chaussées), me voici de retour, avec des réponses à une question posée par Clément et Flavy :
1. Comment montrer l’existence, pour \(n\in\mathbb{N}^*\) fixé, d’un polynôme \(U_n\) vérifiant : …
2. Faut-il vraiment montrer l’unicité
————————————————–
Voici des éléments de réponse :
1. Dans la mesure où on vous donne dans l’énoncé la relation \(U_{n+2}=XU_{n+1}-U_n\), on peut être amené à penser à une récurrence DOUBLE car il semble que l’on ait besoin de \(U_n\) et \(U_{n+1}\) pour définir \(U_{n+2}\).
– Définissez la propriété \(\pi(n)\) qui doit OBLIGATOIREMENT commencer par \(\pi(n) = [ \text{Il existe }U_n \text{ tel que …}]\)
– Déterminez \(U_1\) et \(U_2\) : ATTENTION, ni \(U_1\), ni \(U_2\) , ni \(U_n\) ne doivent dépendre de \(\cos t\) ou \(\sin t\) ou même \(t\).
– Dans l’héréedité, essayer d »exprimer \(\sin\big( (n+2)t\big)\) en fonction de \(\sin\big( (n+1)t\big)\) et \(\sin (nt)\)
2. En ce qui concerne l’unicité, OUI, il faut la démontrer car elle n’est pas du tout évidente !! En effet, si on dit qu’il existe une fonction \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) qui vérifie: \[\forall t\in\mathbb{R},\ f(\cos t)=0,\]
il est clair que cette affirmation est vraie puisque la fonction nulle \(f:x\mapsto 0\) répond clairement à cette condition. En revanche, la fonction \(g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) défnie par : \[\forall t\in [-1,1], g(t)=0 \text{ et }\forall t\in ]-\infty;-1[\cup ]1;+\infty[,\ g(t) = (|t|-1)^2 \] est une AUTRE fonction vérifiant la même condition c.-à-d. \[ g(\cos t)= 0 \] pour tout \(t\in\mathbb{R}\).
Pour autant, il. n’existe qu’un seul polynôme \(U\in\mathbb{R}[X]\) vérifiant : \[ \forall t\in\mathbb{R},\ U(\cos t)=0 \] mais POURQUOI ?
Comme toujours dans ce genre de PB, supposez qu’il existe 2 polynômes qui vérifient la même propriété, et essayez de montrer que ces 2 polynômes sont égaux. Pour ce faire montrez qu’un certain polynôme (pas le premier ni le second, mais un AUTRE, formé à partir des 2 polynômes de départ) possède une infinité de racines … Nous avons vu dans le cours qu’un polynôme réel de degré \(n\in\mathbb{N}\) possède au plus \(n\) racines réelles, donc si un polynôme possède une infinité de racines, on peut dire que ce polynôme est ???
Bon courage et bonne deuxième semaine de vacances !