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Questions sur des exercices à préparer ….

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Vos questions sur les exercices à préparer pour la rentrée : fonctions convexes, polynômes, développements limités.

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Professeur de mathématiques en PCSI2 - Lycée Fabert (METZ)

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Cet article comporte 36 commentaires

  1. Bonjour, j’essaie de faire le DL 10 de l’exercice 1 du TD. Je ne suis pas tellement certaine de la rédaction (surtout avec les o(u(x)) et o(x)…). Le changement de variable est une bonne piste déjà ?

    1. Bonsoir Louna.
      On a vu que dans la composition de DL, on compose en fait les parties régulières, puis on écrit \(x(x^6)\) à la fin, en ne conservant, dans la composée des parties régulières, uniquement les termes de degré inférieur ou égal à 6. Bref, pas de \(o(u(x))^6\).

      Du point de vue de la rédaction, j’écrirais \[e^{\cos x}= e^{1+ \cos x – 1} = e e^{ \cos x – 1}\]
      Là, on fait un DL de \(\cos-1\) à l’ordre 6 en 0 (directement dans exp( …. )) et comme il tend bien vers 0, on peut composer avec la partie régulière du DL(0) de exp !!!

      Mais à quel ordre suffit-il d’écrire le DL(0) de exp ??? Car le terme de plus bas degré du DL(0) de \(\cos x – 1\) est ????

      Bon courage!

    2. Ici, vous ne faites pas un changement de variable, vous nommez juste une fonction u !
      Par ailleurs, j’ai écrit dans le cours qu’on allait composer les parties régulières des DL et non pas composer un DL avec une fonction u ! Mais c’est ce que vous faite ….
      Suivez les conseils donnés dans l’autre remarque …
      A demain !

    1. Bonjour Adam.
      Pour la méthode, c’est bien ce qu’il faut faire malgré quelques soucis de rédaction (mais facilement modifiables).
      Pour \(\frac{1}{x}\ln(1+x)\) : OK
      N’écrivez pas \(u= -\frac{1}{2}x + \cdots \) c’est inutile.
      En revanche, vous pouvez écrire, en posant \(\Delta(x)= \ln\Big( \frac{1}{x}\ln(1+x) \Big) \underset{x\to 0}{=\!=} \ln\big(1-\frac{1}{2} x \cdots \big)\) puis, vous pouvez composer LES PARTIES régulières du DL(0) de \(\ln(1+u)\) avec celui de la partie régulière du DL(0) de votre ancien \(u\), mais pas la peine de poser \(u=-\frac{1}{2}x + \cdots\).
      Bon courage!

    1. Bonsoir Victor. Globalement, c’est bon, mais il ya quelques points à corriger.
      Plusieurs remarques :
      1.- On ne sait pas ce pourquoi vous choisissez un \(\lambda\in\mathbb{C}\). Expliquez quel polynôme on cherche pour l’instant …
      2.- Ne mettez pas \(\mu\) dans la parenthèse pour éviter des produits d’inconnues dans les équations à venir !
      3.- La première phrase de la synthèse n’est pas fausse, mais un peu problématique parce qu’ici, on cherche plutôt à connaître une condition (CNS) sur \(\lambda\) et \(\mu\) pour que P trouvé dans l’analyse soit solution. Si vous voules écrire une phrase, écrivez une éiuvalence qui explique pourquoi vous écrivez la CNS \( P(-1)=1\text{ et } P(1)=-1 \)

      Bon courage !

  4. Bonsoir, je fais le DL 8 de l’exercice 1. Je me suis dis que je pouvais deriver puis integrer le DL. Seulement, la derivée ne m’a pas l’air convaincante : j’ai x-1 / x(1+x)ln(1+x)
    est ce que je suis sur la bonne voie ? merci

    1. Effectivement, c’est trop compliqué.
      Vous connaissez le DL(0) (à quel ordre ??) de \(x\mapsto \ln(1+x)\).
      Vous pouvez en déduire le DL(0) (à quel ordre ??) de \(x\mapsto \frac{1}{x}\ln(1+x)\).
      Ce dernier DL commence par 1 ! Cela signifie que vous pouvez l’écrire sous la forme. \(1 + u(x)\) avec \(\lim_{x\to 0} u(x)=0\).
      Il ne vous reste plus qu’à composer le DL(0) (à.quel ordre cette fois ?) de \(u\mapsto \ln(1+u)\) en remplaçant le u de ce DL par la. partie régulière du DL(0) de \(u(x)\) !
      Mais vous allons voir de nombreux exemples demain.
      Bonne soirée !

    1. Bonsoir Amine.
      J’avoue ne pas trop savoir quelle réponse vous donner !
      – Vous avez le DL à l’ordre 6 de \(\tan\) en 0 sur le formulaire (pensez à la parité de la fonction \(\tan\))
      – Vous pouvez écrire que \( \tan^2 = \tan \times\tan \)
      – Vous avez dans le cours la règle (proposition) pour obtenir le DL d’un produit de fonctions avec des exemples qui suivent.

      Dites-moi où vous êtes bloqué et je pourrai vous donner quelques conseils. Dans tous les cas, envoyez-moi ici ce que vous avez préparé pour que je vérifie vos calculs …
      Bonne soirée !

    1. Bonjour Mathis. J’ai quelques remarques sur la rédaction (au début) et sur le résultat final (qui n’est pas produit de polynômes à coefficients RÉELS … )

      1. On ne peut pas parler de « discriminant du polynôme \(P\) » dans la mesure où en général (\(n>1\)), il n’est pas de degré 2. Comme nous l’avons fait maintes fois, vous pouvez introduire vous-même un polynôme de degré 2 que vous appellerez par exemple \(Q\in\mathbb{R}[X]\) tel que \( P=Q(X^n) \).

      Modifiez la rédaction (ce que vous avez écrit est faux : « les racines de P sont donc \(z^n= \) ») et dites plutôt : « Les racines de Q sont donc …. \(\omega_1 = \) et \(\omega_2 = \) ».

      2. Pour la fin de l’exercice, je l’ai dit au début, vous n’obtenez pas une factorisation dans \(\mathbb{R}[X]\) ! Pour y parvenir, il vous faut rassembler les facteurs dans \(\mathbb{C}[X]\) contenant des racines complexes conjuguées (ce n’est pas le cas sur votre photo).

      Comment effectuer ce regroupement de facteurs et identifier quelles sont les racines de \(P\) qui sont conjuguées ? Il y a une ASTUCE dont on a parlé dans les exercices sur les nombres complexes, vous pouvez utiliser le fait (vous l’avez fait!) que
      \(\mathbb{U}_n=\{ e^{\frac{2ik\pi}{n}}, k \in [\![0;n-1]\!] \} \)
      mais aussi le fait que \(\mathbb{U}_n=\{ e^{-\frac{2ik\pi}{n}}, k \in [\![0;n-1]\!] \} \)

      Bon courage et n’hésitez pas à me montrer ce que vous avez modifié et corrigé !
      Bon courage !

  7. Bonjour monsieur, pour le DLn⁰5 de l’exercice 1 j’ai entrepris beaucoup de calculs et j’ai peur qu’ils soient faux. Cela est-il normal ou peut-on utiliser une autre technique ?

    1. Bonjour Jules. C’est trop compliqué. Utilisez des DL que nous avons vu en classe (ceux du formulaire) : vous pouvez écrire que lorsque \(x \to 0\), \[ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}= (1-x^2)^{-1/2} \] puis, utiliser le DL(0) de \(u\mapsto (1+u)^{\alpha}\) avec \(\alpha=-\frac{1}{2}\) (mais à quel ordree ? Réfléchissez bien !).

      Il ne vous restera plus qu’à remplacer \(u\) par \(-x^2\) dans ce DL car \(-x^2\to 0 \) lorsque \(x\to 0\).

      Bon travail ! N’hésitez pas à me montrer ce que vous avez trouvé.

        1. C’est bien, Jules, vous avez la bonne réponse.
          Juste une ou deux remarques :
          – le DL(0) de \(u\mapsto (1+u)^{-1/2}\) pouvait être écrit à l’ordre 2 uniquement ce qui nous donne ensuite le DL(0) de \(x\mapsto (1-x^2)^{-1/2}\) à l’ordre 4
          – dans le calcul final, on n’a besoin que du \(DL_4\) de \(x\mapsto (1-x^2)^{-1/2}\) (changez votre \(o(x^5)\) en \(o(x^4)\)) car en mettant \(x \) en facteur dans le \(DL_5(0)\) de \(\arcsin\), on est amené à multiplier 2 \(DL_4(0)\) pour obtenir un produit qui, multiplié par \(x\), conduira à un \(DL_5(0)\).

          Pensez à cela pour la présentation au tableau de votre exercice !
          A demain, bonne soirée !

  8. Bonjour Monsieur
    Pour l’exercice 10 feuille 11, je ne comprends pas par quoi je devrais commencer, montrer la convexité de f ou de g sachant qu’on doit aussi démontrer une équivalence.
    Merci et bonne journée

    1. Bonjour Luka.
      J’ai une bonne et une mauvaise nouvelle … Commençons par la mauvaise :
      – vous allez devoir traiter la CN puis la CS séparément
      Ensuite la bonne nouvelle : une fois que vous aurez traité la CN, vous pourrez démontrer la CS en 3 lignes si vous exprimez \(f(x)\) en fonction de \(x,\ \frac{1}{x}\) et \(g\).

      Pour la CN : supposez \(f\) convexe. On ne suppose pas \(f\) dérivable ou deux fois dérivable donc vous ne pouvez pas utiliser \(f’\) et encore moins \(f »\). Vous devez revenir à la définition de fonction convexe pour démontrer que \(g\) est convexe.

      Considérez \((x,y)\in\,]0;+\infty[^2\) et \(\lambda\in [0;1]\). Écrivez \[g(\lambda x +(1-\lambda) y)\] et vous verrez que pour utiliser la convexité de \(f\) pour prouver celle de \(g\), vous devez essayer de prouver qu’il existe \(\mu\in [0;1]\) tel que \[\frac{1}{\lambda x +(1-\lambda) y}=\mu \frac{1}{x}+ (1-\mu)\frac{1}{ y}\]

      Exprimez \(\mu\) en fonction de \(\lambda,\ x\) et \(y\) et montrez bien que \(\mu\in [0;1]\) .
      Ensuite :
      – Utilisez la convexité de \(f\) pour obtenir une inégalité du genre \(f\Big( \frac{1}{\lambda x +(1-\lambda) y} \Big)\leqslant \cdots\)
      – En déduire l’inégalité de convexité pour \(g\) : \(g\big(\lambda x +(1-\lambda) y \big)\leqslant \cdots\)

      Avec ces indications assez précises, vous devriez pouvoir terminer CN et CS. N’hésitez pas à me poser d’autres questions si nécessaire. Bon courage.

      1. Je comprend bien qu’il faut faire le raisonnement en deux partie, ce que je ne comprend pas par contre c’est le mu, il vient du lemme de la position par rapport à la sécante mais je ne vois pas comment le trouver sachant que lorsque l’on développe g( lambda x + (1-lambda)y) , on a f( lambda x + (1-lambda)y)*( lambda x + (1-lambda)y)

        1. Bonjour Luka. Vous avez raison, on part de \(g(\lambda x +(1-\lambda) y)\) que l’on exprime ainsi en fonction de \(f\Big(\frac{1}{\lambda x +(1-\lambda) y)}\Big)\), vous l’avez écrit !
          Ensuite , il faut bien se dire qu’on va devoir utiliser la seule hypothèse dont nous disposons (c.-à-d. \(f\) convexe) pour conclure ! D’où l’idée d’essayer d’écrire \(\frac{1}{\lambda x +(1-\lambda) y)}\) sous la forme \[\frac{1}{\lambda x +(1-\lambda) y}=\mu \frac{1}{x}+ (1-\mu)\frac{1}{ y} \qquad (\star)\]
          On CHERCHE donc \(\mu\) réel (entre 0 et 1 mais c’est à vérifier après avoir trouvé \(\mu\)) qui vérifie \((\star)\). Qu’est-ce que est connu dans l’égalité \((\star)\) ? Tout sauf \(\mu\), l’inconnue ! Il va falloir résoudre l’équation \((star)\) qui est une équation affine à une inconnue ! Facile (sauf que les coefficients de l’équation sont moches parce qu’ils s’expriment à l’aide de \(x,\ y\) et \(\lambda\)) !

          Une fois que vous aurez trouvé \(\mu\) (pour pouvoir utiliser la convexité de \(f\)), suivez le raisonnement que j’ai détaillé juste avant. La valeur de \(\mu\) que vous avez trouvée servira dans la suite …

    1. Bonjour Solène.
      Le plus simple, pour commencer le DL n°6 de l’exercice 1, c’est de simplifier l’expression proposée AVANT de se lancer dans les calculs de développements limités, en écrivant \(\th x=\frac{\sh x}{\ch x}\).

      Comme d’habitude, faites disparaître les double-dénominateurs puis exprimez \(\sh x\) et \(\ch x\) en fonction de l’exponentielle. Il y aura beaucoup de simplifications et il sera alors facile de déterminer le DL demandé.

      Bon courage !

    1. Bonjour Marie.
      Dans cet exercice, il est d’abord question de formule d’Euler, de formule de Moivre, vous avez raison, puis de formule du binôme. Reconnaissez les coefficients du binôme 1-4-6-4-1 …. uisommencez par écrire :
      \[ P=4X^3\sin\theta +6X^2\sin 2\theta+4X\sin 3\theta+\sin 4\theta=\sum_{k=0}^4 (\sin k\theta )X^{4-k}
      \]
      Attention, cette somme commence bien avec \(k=0\) !
      Ensuite, utilisez la formule d’Euler pour \(\sin k\theta\) et coupez la somme en deux sommes. Vous appliquerez alors la formule du binôme (2 fois) pour essayer de résoudre l’équation \(P(z)=0\) d’inconnue \(z\in\C\).

  11. Bonsoir monsieur,

    Est possible d’avoir une piste de résolution pour la suite de l’exercice ? Et est ce que la méthode en cherchant pour n pair et n impair est la bonne?
    Merci

    1. Bonjour Romain.

      Je ne pense pas que la disjonction des cas \(n\) pair/\(n\) impair soit pertinente. En effet, cela ne vous permet de déterminer que 2 racines (ou aucune !) de votre polynôme que je nommerai \(P_n\).

      Sachant que , le cas échéant, ces racines sont simples, vous n’avez donc pas toutes les racines de \(P_n\) qui est de degré \(2n-2\).

      En classe, nous avions commencé l’exercice 8b) et je vous conseille de vous inspirer de la méthode que j’avais suggérée pour déterminer LES racines de \(P_n\) : utiliser la somme des termes d’une suite géométrique.
      Écrivez : Soit \(z\in\C\).
      \[
      P_n(z)=0\quad ssi\quad \left\lbrace \begin{array}{l} P_n(z)=0\\ z^2\not=1 \end{array}\right.
      \]
      Bien sûr, vous devez justifier l’équivalence dans les deux sens. Ensuite, interprétez \(P_n(z)\) comme la somme d’une progression géométrique de raison \(z^2 \) : vous pourrez alors appliquer la formule qui donne cette somme afin de résoudre \(P_n(z)=0\)

      Les racines de \(P_n\) devraient être les racines \(2n\)-ièmes de l’unité (il y en a trop) SAUF deux d’entre elles !
      Bon courage ….

    1. Bonjour Thibaut.

      – Si \(P=0\) alors P est solution du PB
      – Supposons à présent \(P\not=0\).
      – Si \(a\in\C\) est racine de \(P\), alors \(P(a^2)=P(a)P(a-1)=0\) donc \(a^2\) est également racine de \(P\).
      – On peut reprendre la même idée pour trouver beaucoup (ou pas) trop de racines pour un polynôme non nul !
      – Faites un raisonnement par l’absurde pour montrer que forcément, on doit avoir \(a=0\) ou \( |a|=1 \) !

      Bon courage !

    1. Pour cette troisième partie, c’est toujours bon, vous avez trouvé l’ensemble des racines de \(P_n\), mais pour la rédaction, faites une phrase : l’ensemble des racines de \(P_n\) est \(S_n =\{ \cdots \}\) (cet ensemble dépend de \(n\) ) .
      Avant également : montrez bien qu’il y a deux cas en écrivant :
      – Si \(k=0\)
      – Si \(k\in [\![ 1;2n ]\!]\)
      Un dernière chose lorsque vous le présenterez au tableau, faites bien apparaître les ASTUCES, les formules d’Euler que vous utilisez ici !
      Très bon travail, n’oubliez pas de le communiquer à ceux qui doivent faire la suite de cet exercice assez long !

    1. Bonjour Papa.
      Pour cette première partie, c’est très bien, vous avez bien vu ce qu’il fallait faire et vous avez le bon polynôme \(P_n\).
      Juste une remarque : lorsque vous écrivez « Si \(k\) est pair » …. vous ne pouvez pas dire que \(P_n=0\) ! C’est faux, cela veut dire qu’il y a certains termes (un terme sur 2) de la somme précédente définissant \(P_n\) qui sont nuls !

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