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Savoir faire : Établir la relation de récurrence \(u_{n+1}=f(u_n)\), utiliser les points fixes de \(f\), prouver la convergence de \(u\).

Exercice : Soit \(\alpha\in\R_+^*\). On pose \(u_1=\sqrt{\alpha}\) puis \(u_2=\sqrt{\alpha+\sqrt{\alpha}}\) et pour tout \( n\in\N^*\),
\[u_n=\underbrace{\sqrt{ \alpha + \sqrt{ \ \cdots\ + \sqrt{\alpha} } }}_{n-1 \text{ fois l’opérateur }+}\]

  1. Pour tout \(n\in\N^*\), exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\). En déduire que si \( (u_n)_{n\in\N^*} \) converge, ce ne peut être que vers \(l=\frac{1}{2}\big( 1+\sqrt{1+4\alpha} \big) \).
  2. Montrer qu’il existe \(K>0\) tel que : \( \forall n\in\N^*,\ |u_{n+1}-l|\leqslant K\, |u_n-l| \). Conclure.
Indications

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