Exercice 00-047

Exercice :

1. Considérant \((p,q)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(p\not\equiv \frac{\pi}{2}\,[\pi]\) et \(q\not\equiv \frac{\pi}{2}\,[\pi]\), simplifier \( \cos p\cos q\,\big(\tan p – \tan q\big)\).
2. Soit \(n\in\mathbb{N}\) et \(\alpha\in\mathbb{R}\) tel que pour tout \(k\in [\![ 0;n+1 ]\!],\ \cos k\alpha\not=0\).
   Simplifier la somme
   \[S_n=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\cos \big(k\alpha\big)\cos \big((k+1)\alpha\big)}\]
   en discutant suivant les valeurs de \(\alpha\).