Webmail PCSI2.net
User Login
Actualités

SAV du DL n°4 de Mathématiques

\(\newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\llbracket}{[\![} \newcommand{\rrbracket}{]\!]} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\U}{\mathbb{U}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\M}{\mathrm{M}} \newcommand{\DL}{\mathrm{DL}} \newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\card}{\mathrm{Card}\,} \newcommand{\Det}{\mathrm{Det}} \newcommand{\union}{\cup} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,} \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,} \newcommand{\vect}{\mathrm{vect}} \newcommand{\inter}{\cap} \newcommand{\ch}{\mathrm{ch}\,} \newcommand{\sh}{\mathrm{sh}\,} \renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,} \newcommand{\argch}{\mathrm{argch}\,} \newcommand{\argsh}{\mathrm{argsh}\,} \newcommand{\argth}{\mathrm{argth}\,} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mfrac}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}} \newcommand{\cotan}{\mathrm{cotan}\,} \newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}\,} \)

Le DL n°04 porte sur les fonctions usuelles dont arccos, les inégalités et autres études de dérivabilité d’une fonction en un point.

Avatar photo

Professeur de mathématiques en PCSI2 - Lycée Fabert (METZ)

TwitterLinkedInInstagram

Cet article comporte 23 commentaires

  2. Bonsoir Monsieur,
    J’ai trouvé que t=sqrt((1+cosx)/(5-4cosx)) et j’ai réussi à encadrer g(x) avec les inégalités précédentes, mais je vois mal comment encadrer ensuite g(x)-g(pi)/x-pi, sachant qu’on ne peut pas diviser des inégalités

    1. Bonsoir Clarisse.
      Votre valeur de \(t\) est la bonne. Simplifiez-la encore en remplaçant \(1+\cos x \) par \(2\cos^2\frac{x}{2}\)
      puis, une fois l’encadrement de \(g(x)-g(\pi)\) écrit, transformez \(\cos \frac{x}{2}\) en un sinus pour

      1) faire apparaître du \(x-\pi\) au numérateur
      2) utiliser pour finir la limite de \((\sin u )/u\) quand \(u\) tend vers 0 !!

      Bon courage !

  3. Bonsoir monsieur Parise,
    Pour la première question de la premiere partie, j’ai réussi a dériver mais je ne voie comment determiner le signe.
    Voici ce que j’ai obtenu pour la dérivée,
    \frac{\cos(x) \left(1 – \sqrt{5 – 4\cos(x)}\right)-\frac{\sin(x)}{2(5 – 4\cos(x))}}{\sqrt{5 – 4\cos(x)}(5 – 4\cos(x))}

    1. Bonsoir Wassim.

      Pas besoin de la règle de l’Hospital, jamais ! On peut toujours s’en sortir avec des équivalents ou des développements limités … c’est une technique plus moderne et beaucoup plus puissante. Ou alors, comme ici (car on n’a pas encore vu les développements limités), on va utiliser l’énoncé, ce qu’on a démontré AVANT et revenir à la définition de dérivée ….

      Pour démontrer que \(g\) est dérivable en \(\pi\), on va essayer de montrer que \[\frac{g(x)-g(\pi)}{x-\pi}\] possède une limite finie quand \(x\) tend vers \(\pi\).

      La preuve de la règle de l’Hospital … c’est un exercice classique que nous ferons dans le chapitre sure la dérivation !
      La suite dans 5mn …

    2. Comment réussir à calculer cette limite ? Et bien, nous allons utiliser la question précédente et le théorème d’encadrement. Cette question n’est pas simple, mais elle est très intéressante !

      Tout d’abord, Margaux m’a demandé vendredi s’il fallait essayer de mettre \[\frac{4-5\cos x}{5-4\cos x}\] sous la forme \(1-t^2\) pour obtenir un premier encadrement … Et bien oui, c’est une bonne idée ! Si quelqu’un a trouvé une valeur de \(t\) possible, postez-la ICI, je vous donnerai mon avis.

      Ensuite, écrivez l’encadrement obtenu pour \(g(x)\) puis \((g(x)-g(\pi))/(x-\pi))\) et utilisez le théorème d’encadrement. Si vous avez un problème pour calculer une limite, vous pouvez poster ici … !
      Bon courage 🙂

    1. Bonsoir Adam.
      Je dirais tout simplement deux études de fonction …. mais si vous avez une question précise, un calcul qui n’aboutit pas, vous pouvez le poster ici, je vous donnerai des indications en fonction de ce que vous avez obtenu.
      Bonne fin de journée !

  6. Bonjour, pour la question 3.a de la partie 2, pour montrer que la fonction est dérivable sur ]0,pi[, faut il passer par cos((4-5cosx)/(5-4cosx)) et montrer pour quelles valeurs de x sa dérivée s’annule ?

    1. Bonjour Louna.
      Pour

      – trouver le domaine de définition/continuité
      – trouver le domaine de dérivabilité
      – calculer la dérivée

      d’une fonction du type \(x\mapsto \arccos(u(x))\), nous avons vu que souvent, LA bonne technique est de déterminer le signe de \(1-u^2\) … nous avons fait le premier exercice corrigé du TD dessus. Ici, c’est la même idée !

      Bon courage !

    1. Bonsoir Solène.
      Vous allez démontrer qu’on ne peut pas avoir \(f(x)=x\) si \(x\in{]0;\pi]}\). En effet, vous avez montré que \(f\leqslant \sin \) sur \([0;\pi]\) et en enchainant les inégalité vous allez pouvoir obtenir une inégalité stricte entre \(f(x)\) et \(x\) pour \(x\in{]0;\pi]}\).

      Cela montrera qu’on ne peut pas avoir \(f(x)=x\) si \(x\in{]0;\pi]}\). Donc la seule solution de cetet équation est … ?

Laisser un commentaire

Back To Top