Exercice 09-036 - Une suite (presque) définie par récurrence

\(\newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\llbracket}{[\![} \newcommand{\rrbracket}{]\!]} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\U}{\mathbb{U}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\M}{\mathrm{M}} \newcommand{\DL}{\mathrm{DL}} \newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\card}{\mathrm{Card}\,} \newcommand{\Det}{\mathrm{Det}} \newcommand{\union}{\cup} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,} \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,} \newcommand{\vect}{\mathrm{vect}} \newcommand{\inter}{\cap} \newcommand{\ch}{\mathrm{ch}\,} \newcommand{\sh}{\mathrm{sh}\,} \renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,} \newcommand{\argch}{\mathrm{argch}\,} \newcommand{\argsh}{\mathrm{argsh}\,} \newcommand{\argth}{\mathrm{argth}\,} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mfrac}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}} \newcommand{\cotan}{\mathrm{cotan}\,} \newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}\,} \)

Savoir faire : Établir la relation de récurrence \(u_{n+1}=f(u_n)\), utiliser les points fixes de \(f\), prouver la convergence de \(u\).

Exercice : Soit \(\alpha\in\R_+^*\). On pose \(u_1=\sqrt{\alpha}\) puis \(u_2=\sqrt{\alpha+\sqrt{\alpha}}\) et pour tout \( n\in\N^*\),
\[u_n=\underbrace{\sqrt{ \alpha + \sqrt{ \ \cdots\ + \sqrt{\alpha} } }}_{n-1 \text{ fois l’opérateur }+}\]

Pour tout \(n\in\N^*\), exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\). En déduire que si \( (u_n)_{n\in\N^*} \) converge, ce ne peut être que vers \(l=\frac{1}{2}\big( 1+\sqrt{1+4\alpha} \big) \).
Montrer qu’il existe \(K>0\) tel que : \( \forall n\in\N^*,\ |u_{n+1}-l|\leqslant K\, |u_n-l| \). Conclure.

Indications