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Savoir faire : utiliser la formule du rang et la formule de Grassmann.

Exercice : Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(n\in\N^*\) et \(f,\,g\) deux endomorphismes de \(E\) tels que \(f\circ g=\underline{0}_E\) et \(f+g\) bijectif.

  1. Montrer que \(\rg f+\rg g-\dim(\Im f\inter \Im g)=n\).
  2. Montrer que \(\Im f\) et \(\Ker f\) sont supplémentaires dans \(E\).
  3. En déduire que \(\rg f+\rg g=n\).
Indications

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