Exercice 00-047
Exemple de calculs de somme, somme télescopique et trigonométrie. Formules d'addition. sin(a-b).
Savoir faire : utiliser les formules d'addition, les formules sommatoires, les formules trigonométriques de linéarisation.
\(\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\llbracket}{[\![}
\newcommand{\rrbracket}{]\!]}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\U}{\mathbb{U}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\M}{\mathrm{M}}
\newcommand{\DL}{\mathrm{DL}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\GL}{\mathrm{GL}}
\newcommand{\card}{\mathrm{Card}\,}
\newcommand{\Det}{\mathrm{Det}}
\newcommand{\union}{\cup}
\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,}
\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,}
\newcommand{\vect}{\mathrm{vect}}
\newcommand{\inter}{\cap}
\newcommand{\ch}{\mathrm{ch}\,}
\newcommand{\sh}{\mathrm{sh}\,}
\renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,}
\newcommand{\argch}{\mathrm{argch}\,}
\newcommand{\argsh}{\mathrm{argsh}\,}
\newcommand{\argth}{\mathrm{argth}\,}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\mfrac}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\cotan}{\mathrm{cotan}\,}
\newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}\,}
\)
- Montrer, pour tout réel \(x\), la relation \(\sin 3x=(1+2\,\cos 2x)\,\sin x\).
- Soit \(\alpha\in\R\) tel que \(\alpha\not\equiv 0\,[\pi]\). Montrer que
\[\cos \alpha+\cos 3\alpha+\cos 5\alpha =\frac{\sin 6\alpha}{2\,\sin\alpha}.\] - En déduire finalement la valeur de
\[S=\cos^2 \frac{\pi}{14}+\cos^2\frac{3\pi}{14}+\cos^2\frac{5\pi}{14}.\]
Éléments de corrigé
Ce contenu est réservé aux étudiants de PCSI2 du lycée Fabert de Metz