Techniques
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Chapitre 16 - année scolaire 2024-2025
Chapitre 02 - année scolaire 2024-2025
Sommes et produits, inégalités, systèmes pour les kids
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élémentaires de calcul
2. Utiliser et démontrer des inégalités
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[Chap 01] Techniques élémentaires de calcul ⟶ PCSI\(\phantom{}^2\) du lycée Fabert (METZ)
2. Utiliser et démontrer des inégalités
J. SAVOIR FAIRE : Enchaîner les inégalités.
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2. Utiliser et démontrer des inégalités
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2. Utiliser et démontrer des inégalités
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[Chap 01] Techniques élémentaires de calcul ⟶ PCSI\(\phantom{}^2\) du lycée Fabert (METZ)
Idée 1 : Faire disparaître les valeurs absolues
\(\forall a\in\mathbb{R},\ |a|^2=a^2\)
tout en minorant \(|\cos k|\)
\(\forall x\in [0;1],\ x^2\leqslant x\)
Or pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\ |\cos k|\in [0;1]\) donc
\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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[Chap 01] Techniques élémentaires de calcul ⟶ PCSI\(\phantom{}^2\) du lycée Fabert (METZ)
\(\forall a\in\mathbb{R},\ |a|^2=a^2\)
\(\forall x\in [0;1],\ x^2\leqslant x\)
\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)
Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)
Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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[Chap 01] Techniques élémentaires de calcul ⟶ PCSI\(\phantom{}^2\) du lycée Fabert (METZ)
\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)
Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)
Donc
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)
Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)
Donc
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\cos k)^2\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)
Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)
Donc
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\cos k)^2\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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[Chap 01] Techniques élémentaires de calcul ⟶ PCSI\(\phantom{}^2\) du lycée Fabert (METZ)
\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)
Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)
Donc
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\cos k)^2\)
= \(\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} (1+\cos 2k)\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)
Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)
Donc
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\cos k)^2\)
= \(\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} (1+\cos 2k)\)
= \(\displaystyle\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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[Chap 01] Techniques élémentaires de calcul ⟶ PCSI\(\phantom{}^2\) du lycée Fabert (METZ)
\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)
Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)
Donc
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\cos k)^2\)
= \(\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} (1+\cos 2k)\)
= \(\displaystyle\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
Il s'agit de minorer cette somme par \(-\frac{n}{2}\)
Peut-on calculer/simplifier cette somme ?
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
Il s'agit de minorer cette somme par \(-\frac{n}{2}\)
Peut-on calculer/simplifier cette somme ?
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
\(\displaystyle 2\sin 1\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)
Formule de linéarisation
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
\(\displaystyle 2\sin 1\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
\(\displaystyle 2\sin 1\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
\(\displaystyle 2\sin 1\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle a_k\)
\(\displaystyle a_{k-1}\)
Somme télescopique !
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
\(\displaystyle 2\sin 1\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
\(\displaystyle 2\sin 1\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)
\(\displaystyle \geqslant -2\)
donc
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)
Or \(\sin 1\geqslant \sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
donc \(\frac{1}{\sin 1}\leqslant \frac{1}{\sin \frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
\(\displaystyle 2\sin 1\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)
\(\displaystyle \geqslant -2\)
donc
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)
\(\frac{1}{\sin 1}\leqslant \frac{1}{\sin \frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\leqslant 1,5\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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[Chap 01] Techniques élémentaires de calcul ⟶ PCSI\(\phantom{}^2\) du lycée Fabert (METZ)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
\(\displaystyle 2\sin 1\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)
\(\displaystyle \geqslant -2\)
donc
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)
\(\frac{1}{\sin 1}\leqslant \frac{1}{\sin \frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\leqslant 1,5\)
donc -\(\frac{1}{\sin 1}\geqslant -1,5\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
\(\displaystyle 2\sin 1\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)
\(\displaystyle \geqslant -2\)
donc
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)
\(\frac{1}{\sin 1}\leqslant \frac{1}{\sin \frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\leqslant 1,5\)
donc -\(\frac{1}{\sin 1}\geqslant -1,5\)
\(\geqslant -1,5\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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[Chap 01] Techniques élémentaires de calcul ⟶ PCSI\(\phantom{}^2\) du lycée Fabert (METZ)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)
\(\displaystyle \geqslant -2\)
donc
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)
\(\geqslant -1,5\)
\(=-\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)
\(\displaystyle\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{2}-\frac{3}{4}\)
\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{4}\)
dès lors que \(n\geqslant 3\)
\(\displaystyle u_n = \)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)
\(\displaystyle \geqslant -2\)
donc
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)
\(\geqslant -1,5\)
\(=-\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)
\(\displaystyle\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{2}-\frac{3}{4}\)
\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{4}\)
dès lors que \(n\geqslant 3\)
\(\displaystyle u_n = \)
\(\displaystyle u_1 = \cos 1 \geqslant \frac{1}{2}\geqslant \frac{1}{4}\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)
\(\displaystyle \geqslant -2\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)
\(\geqslant -1,5\)
\(=-\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)
\(\displaystyle\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{2}-\frac{3}{4}\)
\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{4}\)
dès lors que \(n\geqslant 3\)
\(\displaystyle u_n = \)
\(\displaystyle u_1 = \cos 1 \geqslant \frac{1}{2}\geqslant \frac{1}{4}\)
\(\displaystyle u_2 = |\cos 1| + |\cos 2|\geqslant \frac{1}{2}= \frac{2}{4}\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
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[Chap 01] Techniques élémentaires de calcul ⟶ PCSI\(\phantom{}^2\) du lycée Fabert (METZ)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
Text
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)
\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)
\(\displaystyle \geqslant -2\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)
\(\geqslant -1,5\)
\(=-\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)
\(\displaystyle\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)
\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{2}-\frac{3}{4}\)
\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{4}\)
dès lors que \(n\geqslant 3\)
\(\displaystyle u_n = \)
\(\displaystyle u_1 = \cos 1 \geqslant \frac{1}{2}\geqslant \frac{1}{4}\)
\(\displaystyle u_2 = |\cos 1| + |\cos 2|\geqslant \frac{1}{2}= \frac{2}{4}\)
Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)
Pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)