Techniques

Chapitre 16 - année scolaire 2022-2023

Chapitre 02 - année scolaire 2023-2024

Sommes et produits, inégalités, systèmes pour les kids

Techniques

élémentaires de calcul

2. Utiliser et démontrer des inégalités

http://www.pcsi2.net

[Chap 01] Techniques élémentaires de calcul ⟶ PCSI\(\phantom{}^2\) du lycée Fabert (METZ)

2. Utiliser et démontrer des inégalités

J. SAVOIR FAIRE : Enchaîner les inégalités.

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2. Utiliser et démontrer des inégalités

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2. Utiliser et démontrer des inégalités

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Idée 1 : Faire disparaître les valeurs absolues

\(\forall a\in\mathbb{R},\ |a|^2=a^2\)

tout en minorant \(|\cos k|\)

\(\forall x\in [0;1],\ x^2\leqslant x\)

Or pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\ |\cos k|\in [0;1]\) donc

\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\forall a\in\mathbb{R},\ |a|^2=a^2\)

\(\forall x\in [0;1],\ x^2\leqslant x\)

\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)

Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)

Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)

Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)

Donc

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)

Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)

Donc

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\cos k)^2\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)

Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)

Donc

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\cos k)^2\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)

Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)

Donc

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\cos k)^2\)

= \(\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} (1+\cos 2k)\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)

Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)

Donc

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\cos k)^2\)

= \(\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} (1+\cos 2k)\)

= \(\displaystyle\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\( |\cos k|\geqslant |\cos k|^2=(\cos k)^2\)

Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*,\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)

Donc

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\cos k)^2\)

= \(\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} (1+\cos 2k)\)

= \(\displaystyle\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

Il s'agit de minorer cette somme par \(-\frac{n}{2}\)

Peut-on calculer/simplifier cette somme ?

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

Il s'agit de minorer cette somme par \(-\frac{n}{2}\)

Peut-on calculer/simplifier cette somme ?

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

\(\displaystyle 2\sin 1\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)

Formule de linéarisation

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

\(\displaystyle 2\sin 1\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

\(\displaystyle 2\sin 1\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

\(\displaystyle 2\sin 1\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)

\(\displaystyle a_k\)

\(\displaystyle a_{k-1}\)

Somme télescopique !

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

\(\displaystyle 2\sin 1\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)

\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

\(\displaystyle 2\sin 1\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)

\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)

\(\displaystyle \geqslant -2\)

donc

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)

Or \(\sin 1\geqslant \sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

donc \(\frac{1}{\sin 1}\leqslant \frac{1}{\sin \frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

\(\displaystyle 2\sin 1\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)

\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)

\(\displaystyle \geqslant -2\)

donc

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)

\(\frac{1}{\sin 1}\leqslant \frac{1}{\sin \frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\leqslant 1,5\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

\(\displaystyle 2\sin 1\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)

\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)

\(\displaystyle \geqslant -2\)

donc

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)

\(\frac{1}{\sin 1}\leqslant \frac{1}{\sin \frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\leqslant 1,5\)

donc -\(\frac{1}{\sin 1}\geqslant -1,5\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

\(\displaystyle 2\sin 1\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)

\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)

\(\displaystyle \geqslant -2\)

donc

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)

\(\frac{1}{\sin 1}\leqslant \frac{1}{\sin \frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\leqslant 1,5\)

donc -\(\frac{1}{\sin 1}\geqslant -1,5\)

\(\geqslant -1,5\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)

\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)

\(\displaystyle \geqslant -2\)

donc

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)

\(\geqslant -1,5\)

\(=-\frac{3}{2}\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)

\(\displaystyle\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{2}-\frac{3}{4}\)

\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{4}\)

dès lors que \(n\geqslant 3\)

\(\displaystyle u_n = \)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)

\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)

\(\displaystyle \geqslant -2\)

donc

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)

\(\geqslant -1,5\)

\(=-\frac{3}{2}\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)

\(\displaystyle\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{2}-\frac{3}{4}\)

\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{4}\)

dès lors que \(n\geqslant 3\)

\(\displaystyle u_n = \)

\(\displaystyle u_1 = \cos 1 \geqslant \frac{1}{2}\geqslant \frac{1}{4}\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)

\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)

\(\displaystyle \geqslant -2\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)

\(\geqslant -1,5\)

\(=-\frac{3}{2}\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)

\(\displaystyle\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{2}-\frac{3}{4}\)

\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{4}\)

dès lors que \(n\geqslant 3\)

\(\displaystyle u_n = \)

\(\displaystyle u_1 = \cos 1 \geqslant \frac{1}{2}\geqslant \frac{1}{4}\)

\(\displaystyle u_2 = |\cos 1| + |\cos 2|\geqslant \frac{1}{2}= \frac{2}{4}\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

Text

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} 2\sin 1\cos 2k\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\!+\!1)\! -\! \sin (2k\!-\!1)\)

\(\displaystyle = \sin (2n\!+\!1)\! -\! \sin (1)\)

\(\displaystyle \geqslant -2\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

\(\displaystyle \geqslant -\frac{1}{\sin 1}\)

\(\geqslant -1,5\)

\(=-\frac{3}{2}\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |\cos k|\geqslant\)

\(\displaystyle\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \cos 2k\)

\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{2}-\frac{3}{4}\)

\(\displaystyle\geqslant\frac{n}{4}\)

dès lors que \(n\geqslant 3\)

\(\displaystyle u_n = \)

\(\displaystyle u_1 = \cos 1 \geqslant \frac{1}{2}\geqslant \frac{1}{4}\)

\(\displaystyle u_2 = |\cos 1| + |\cos 2|\geqslant \frac{1}{2}= \frac{2}{4}\)

Exemple : Montrer que pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)

Pour tout \(\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geqslant \frac{n}{4}\)