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SAV du DL n°3 de Mathématiques

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Le DL n°03 porte sur les nombres complexes, la méthode de Tartaglia et la somme et le produit des racines d’un polynôme de degré 2 en général !

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Professeur de mathématiques en PCSI2 - Lycée Fabert (METZ)

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Cet article comporte 31 commentaires

  1. Bonjour Monsieur,

    Pour la partie 3 du problème 1, doit-on également trouver 3 solutions ?
    Je me suis ramené à la résolution de la forme cos3O=c.
    J’ai donc une valeur de a car a>0 et 2 valeurs pour O. J’ai donc en tout deux solutions. Mais la troisième…?
    Quand est-il également de la question où il faut conclure ? Qu’attendez-vous exactement ?

    Merci d’avance,
    LE MOINE Romain.

    1. Oui, on trouve 3 solutions !
      Une fois trouvée la valeur de a pour se ramener à \(\cos \color{red}{3}\theta = cste\), vous obtenez 3 valeurs de \(\theta\) dans \([0;2\pi]\) grâce aux congruences et donc vous obtenez 3 valeurs de \(z\) solution de \((E)\).

      Bon courage !

      1. Bonjour Monsieur,

        Pour la question 3 du problème 1, on a précisé que Thêta appartient à R, du coup j’ai une infinité de valeur de Thêta dans R pour l’équation cos(3O)=c et je sais pas si c’est correcte ou pas.
        Merci d’avance.
        Mboup

      3. Bonsoir Papa.
        Bien sûr, vous avez une infinité de valeurs de \(\theta\) solution de votre dernière équation MAIS comme vous cherchez les \(z=a\cos \theta\) et que \(\cos\) est périodique de période \(2\pi\), vous obtenez bien 3 valeurs possibles pour \(z\) !
        Bonne soirée …

  2. Bonsoir monsieur,
    Je reviens vers vous pour la question 3 du problème 2.
    J’ai essayé de démontrer la relation en partant de différentes manières (discriminants des deux équations égaux et égaux à zéro, partir de la relation pour retrouver les discriminants, remplacer les équations par une solution commune…) mais aucune n’a aboutit.
    Pourriez-vous m’indiquer alors par où partir pour retrouver les conditions nécessaire et suffisante démontrant l’équivalence?
    Merci d’avance,
    Clarisse VANEL

    1. Bonsoir Clarisse.
      Ce n’est pas une question simple, certes ! Les solutions de \(E_{\lambda}\) sont \(x_1\) et \(x_2\) et les solutions de \(F_{\lambda,\mu}\) sont \(y_1=x_1+\mu x_2\) et \(y_2=x_2+\mu x_1\). Dire que les équations ont une solution commune signifie que \[x_1 = y_1 \text{ ou } x_1 = y_2 \text{ ou }x_2 = y_1 \text{ ou }x_2 = y_2 \]
      Deux de ces relations sont impossibles car on suppose ici que \(\mu\not=0\)
      Finalement, les deux équations ont une solution commune ssi \(x_1=y_2 \text{ ou } x_2=y_1\) ssi …..
      \(x_1-y_2=0\) ou ….
      À ce stade, utilisez la règle : « Le produit ab est nul ssi a=0 ou b=0 » (mais ici c’est plutôt « a =0 ou b= 0 ssi …. »)
      Ensuite, reprenez l’expression \(y_1=x_1+\mu x_2\) et de même pour \(y_2 = \cdots\).

      En développant votre produit (qui est nul), vous devriez avoir; \[x_1x_2 -(1-\mu)x_1^2 – (1-\mu)x_2^2 + \cdots = 0\] et en utilisant la somme et le produit de \(x_1\) et \(x_2\), vous devriez obtenir l’équivalence souhaitée ….
      Pas facile mais intéressant !
      Bon courage, n’hésitez pas à me poser d’autres questions …
      PS : j’en profite pour poster une petite vidéo sur une ancienne étudiante de PCSI2 ….


    1. Bonjour Victor.
      Supposons \(S_2\) et montrons \( S_1\). Vous savez que \(u^3+v^3=8\) et \((u+v)^3=u^3+v^3+ \cdots\) [Formule du binôme].
      Cette relation doit vous permettre d’exprimer \((u+v)^3\) en fonction de \(u+v\) (après avoir remplacé \(uv\) par 4 à chaque fois que c’est possible. En passant tout les termes du membre de droite de cette relation dans le membre de gauche, vous devriez obtenir \(f(u+v)=0\), autrement dit : \(u+v\) est solution de \(E\) !
      Bon courage …!

    1. Bonjour Mathieu.
      Oui, il faut introduire \(j\) puisqu’une fois trouvées les valeurs de \(u^3\) et \(v^3\), il y aura 3 valeurs possibles pour \(u\) et 3 valeurs possibles pour \(v\) : ces valeurs sont les racines cubiques de \(u^3\) et \(v^3\) et vous savez que les racines cubiques d’un nombre complexe sont liées par les racines cubiques de l’unité !
      Bon courage …

  7. Bonjour monsieur, on a trouvé les différents u et v de la question 2. (b) du problème 1 mais on a des doutes quant à la rédaction des ensembles de solution. Pourriez-vous nous donner une indication s’il-vous-plaît ?

    1. Non, il y a un problème Solène … vous confondez « u et v sont les solutions de (E) » avec « u+v est UNE solution de (E) ».
      En partant de (S1), écrivez ce que veut dire « u+v est UNE solution de (E) » et vous démontrerez par le calcul, en remplaçant u+u dans (E), que \(u^3+v^3=8\).
      Bien sûr, il faudra utiliser \(uv=4\).
      Quand vous avez montré \(S_1 \Rightarrow S_2\); n’oubliez pas ensuite de prouver que \(S_2 \Rightarrow S_1\).

      Bon courage!

  10. Bonjour Monsieur,

    Je pense avoir trouvé le polynôme P ainsi que ses deux racines qui remplissent la condition uv=4. Cependant je ne sais pas comment faire afin de trouver les 2 autres racines de (E) tq z=u+v.

    Auriez vous une indication s’il-vous-plaît ?

    Merci,
    LM Romain.

    1. Bonjour Romain.
      Normalement, en exploitant le système \(S_3\), vous obtenez \(u^3\) et \(v^3\). Cela vous donne 3 possibilités pour \(u\) et 3 pour \(v\).
      La condition \(uv\in\R\) permet d’obtenir 3 couples \((u,v)\) solutions. Cela vous fournit 3 solutions de \(E\).

      Bon courage !

    1. Bonjour Matthieu.
      Dans le cours, j’ai écrit un paragraphe sur la somme et le produit des racines d’un polynôme de degré 2. Je ne vois pas pourquoi vous cherchez \(P\) de degré 3. [dans l’énoncé on précise bien « degré 2 »]
      Parr ailleurs, « unitaire » signifie que le coefficient dominant de \(P\) est 1.

      Prenons un exemple : Si vous considère \(P=X^2-4X+3\), alors si \((z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2\), on peut affirmer que: \[(z_1,z_2)\text{ est un couple formé des racines de }P\text{ ssi } (z_1+z_2=4 \text{ et }z_1z_2=3 )\]
      Nous avons bien là une équivalence, et c’est exactement ce dont vous avez besoin dans la question 2 du DL.
      Relisez bien toute cette partie du cours, y compris pour l’exercice 2.
      Bon courage !

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