Bonjour Mr , pour la question 4 de la partie B je ne vois pas du tout le lien avec la question 3 comment peut-on se servir de la réponse de la question 3 ? Merci et bonne journée
Si \(1\) est racine d’un polynôme \(U\), alors \(U\) est divisible par \(X-1\). Ici il y a 3 racines distinctes de \(U_n\) donc \(U_n\) est divisible par … ??
Par ailleurs, \(\chi(A)=0_3\) : vous devriez pouvoir en déduire \(U_n(A)\).
Bon courage …
Léa
Bonjour monsieur,
Pour la question 4B je ne comprends pas trop comment à partir de Un et x on peut trouver l’expression de A^n est ce que vous pourriez donner une piste ? Merci et bonne fin de journée
Je viens d’y répondre en donnant des indications à Aurélien juste au dessus.
X peut être remplacé par … A !
Bon courage !
Célestine
Bonjour monsieur,
Pour la question 5 de la partie B, je ne vois pas vraiment la différence avec la question 2a
et pour les questions 4 et 5, est-ce qu’il faut laisser an, bn et cn dans les réponses ou il faut les remplacer par leur valeur?
merci, bonne journée
Dans la question B.4, on écrit \(A^n\) en fonction de 3 matrices alors que dans la question B.5, on vous demande d’écrire \(A^n\) sous la forme d’une seule matrice en exprimant ses 9 coefficients.
Dans les deux questions, vous pouvez laisser \(a_n,\ b_n\) et \(c_n\) dans le résultat (pour éviter les calculs).
Par contre, dans la question C.3, vous ne devez plus avoir de \(a_n,\ b_n\) et \(c_n\) dans l’expression de \(u_n\).
Bonne journée !
Lucie
Bonjour monsieur j’avais plusieurs questions à propos de la Partie C :
question 1 : devons-nous justifier la relation matricielle ?
question 2 : la nature de la suite u est- elle une justification suffisante ?
question 3 : peut-on utiliser les résultats des parties précédentes pour trouver l’expression de un ?
Bonjour Lucie.
Voici quelques éléments de réponse :
Question 1 : Si vous écrivez \[ \left\lbrace \begin{array}{rcl} u_n & = & \cdots \\ u_{n+1} & = & \cdots \\ u_{n+2} & = & \cdots \end{array} \right. \] cela me semble suffir pour justifier la relation matricielle de la question 1.
Question 2 : Non/Oui, si vous avez reconnu la nature de la suite \( (C_n)_{n\in\mathbb{N}} \) (mais pas la suite \(u\) car nous n’avons rien vu dans le cours sur les relations re récurrence linéaire d’ordre 2/3 ….), vous pouvez en déduire la relation entre \(C_n\) et \(C_0\) directement : vu en 1èreS ou en terminale.
Question 3 : OUI ! C’est le but du problème ! On va utiliser la question C.2 et la question B.5 (et la définition de \(C_n\)) pour obtenir \(u_n\) en fonction de \(n\in\mathbb{N}\).
Bon courage et à bientôt !
Robin
Je n’ai pas vraiment compris dans la partie A comment on calcule A^n =PD^nP^-1 quand on obtient l’expression de D^n en fonction de n, faut il faire le calcul à la main ?
\(D\) est une matrice diagonale, donc calculer \(D^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\), ne pose aucun problème. C’est plus simple que l’exemple traité en cours.Pensez au produit de matrices triangulaires et à ce qui se passe sur la diagonale.
Ensuite, à l’aide des expressions de \(P\) et \(P^{-1}\), on calcule facilement \(A^n\).
Bon courage !
Thomas L
Pour la partie B du DL4, question 3,
j’ai fait un système mais lorsque je le résout matriciellement je tombe sur des choses bizarres : par exemple qu’il ne possède pas de solution (donc je pense que c’est faux).
Bonsoir Thomas. Les conditions \[.U_n(-1)=0\quad U_n(1)=0\quad \text{et}\quad U_n(2)=0 \] conduisent à un système de trois équations à trois inconnues \(a_n,\ b_n\) et \(c_n\) qui possède une unique solution.
Vous avez sans doute fait une erreur de calcul. Je vous enverrai les valeurs que j’ai trouvées demain … 🙂
Bon courage pour la suite.
Laurent PARISE
Bonjour Thomas. Comme promis, voici les valeurs que j’ai trouvées : \[ a_n=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}2^n+\frac{1}{6} (-1)^n \quad b_n = \frac{1}{2} + \cdots \quad \text{et}\quad c_n=1+\cdots\]
Bien sûr, je n’allais pas vous donner toutes les réponses !! Il faut compléter les \(\cdots\) 🙂
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Bonjour Mr , pour la question 4 de la partie B je ne vois pas du tout le lien avec la question 3 comment peut-on se servir de la réponse de la question 3 ? Merci et bonne journée
Bonjour Aurélien.
Si \(1\) est racine d’un polynôme \(U\), alors \(U\) est divisible par \(X-1\). Ici il y a 3 racines distinctes de \(U_n\) donc \(U_n\) est divisible par … ??
Par ailleurs, \(\chi(A)=0_3\) : vous devriez pouvoir en déduire \(U_n(A)\).
Bon courage …
Bonjour monsieur,
Pour la question 4B je ne comprends pas trop comment à partir de Un et x on peut trouver l’expression de A^n est ce que vous pourriez donner une piste ? Merci et bonne fin de journée
Bonjour Léa. Je n’avais pas vu votre question … !
Je viens d’y répondre en donnant des indications à Aurélien juste au dessus.
X peut être remplacé par … A !
Bon courage !
Bonjour monsieur,
Pour la question 5 de la partie B, je ne vois pas vraiment la différence avec la question 2a
et pour les questions 4 et 5, est-ce qu’il faut laisser an, bn et cn dans les réponses ou il faut les remplacer par leur valeur?
merci, bonne journée
Bonjour Célestine.
Dans la question B.4, on écrit \(A^n\) en fonction de 3 matrices alors que dans la question B.5, on vous demande d’écrire \(A^n\) sous la forme d’une seule matrice en exprimant ses 9 coefficients.
Dans les deux questions, vous pouvez laisser \(a_n,\ b_n\) et \(c_n\) dans le résultat (pour éviter les calculs).
Par contre, dans la question C.3, vous ne devez plus avoir de \(a_n,\ b_n\) et \(c_n\) dans l’expression de \(u_n\).
Bonne journée !
Bonjour monsieur j’avais plusieurs questions à propos de la Partie C :
question 1 : devons-nous justifier la relation matricielle ?
question 2 : la nature de la suite u est- elle une justification suffisante ?
question 3 : peut-on utiliser les résultats des parties précédentes pour trouver l’expression de un ?
bonne journée
Bonjour Lucie.
Voici quelques éléments de réponse :
Question 1 : Si vous écrivez \[ \left\lbrace \begin{array}{rcl} u_n & = & \cdots \\ u_{n+1} & = & \cdots \\ u_{n+2} & = & \cdots \end{array} \right. \] cela me semble suffir pour justifier la relation matricielle de la question 1.
Question 2 : Non/Oui, si vous avez reconnu la nature de la suite \( (C_n)_{n\in\mathbb{N}} \) (mais pas la suite \(u\) car nous n’avons rien vu dans le cours sur les relations re récurrence linéaire d’ordre 2/3 ….), vous pouvez en déduire la relation entre \(C_n\) et \(C_0\) directement : vu en 1èreS ou en terminale.
Question 3 : OUI ! C’est le but du problème ! On va utiliser la question C.2 et la question B.5 (et la définition de \(C_n\)) pour obtenir \(u_n\) en fonction de \(n\in\mathbb{N}\).
Bon courage et à bientôt !
Je n’ai pas vraiment compris dans la partie A comment on calcule A^n =PD^nP^-1 quand on obtient l’expression de D^n en fonction de n, faut il faire le calcul à la main ?
Bonjour Robin.
\(D\) est une matrice diagonale, donc calculer \(D^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\), ne pose aucun problème. C’est plus simple que l’exemple traité en cours.Pensez au produit de matrices triangulaires et à ce qui se passe sur la diagonale.
Ensuite, à l’aide des expressions de \(P\) et \(P^{-1}\), on calcule facilement \(A^n\).
Bon courage !
Pour la partie B du DL4, question 3,
j’ai fait un système mais lorsque je le résout matriciellement je tombe sur des choses bizarres : par exemple qu’il ne possède pas de solution (donc je pense que c’est faux).
Bonsoir Thomas. Les conditions \[.U_n(-1)=0\quad U_n(1)=0\quad \text{et}\quad U_n(2)=0 \] conduisent à un système de trois équations à trois inconnues \(a_n,\ b_n\) et \(c_n\) qui possède une unique solution.
Vous avez sans doute fait une erreur de calcul. Je vous enverrai les valeurs que j’ai trouvées demain … 🙂
Bon courage pour la suite.
Bonjour Thomas. Comme promis, voici les valeurs que j’ai trouvées : \[ a_n=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}2^n+\frac{1}{6} (-1)^n \quad b_n = \frac{1}{2} + \cdots \quad \text{et}\quad c_n=1+\cdots\]
Bien sûr, je n’allais pas vous donner toutes les réponses !! Il faut compléter les \(\cdots\) 🙂
Bon courage !