Composition de deux applications linéaires. Inverse d’une application linéaire.
Image directe et réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire.
Caractérisation des applications linéaires injectives et surjectives à l’aide de \(\mathrm{Ker} u \) et \(\mathrm{Im} u\).
Ensemble des solutions d’une équation linéaire.
Système libre et système lié. Base d’un ev : système libre et générateur; extension aux familles.
Coordonnées d’un vecteur dans une base.
Détermination d’une application linéaire sur une base, sur des sev supplémentaires.
Caractérisation de l’injectivité et de la surjectivité d’une appl. linéaire par l’image d’une base.
\(\mathcal{L}(E)\) et le groupe linéaire \(\mathrm{GL}(E)\). Projecteurs, projecteurs associés. Symétries.
Dimension finie : existence d’une famille génératrice finie.
Théorème de la base extraite (d’une famille génératrice). Conséquence : tout espace vectoriel de dimension finie non réduit à \(\{ \vec{0} \}\) possède au moins une base finie.
Un système de \(n+p\) vecteurs tous combinaison linéaire de \(n\) vecteurs \(\big((n,p)\in (\mathbb{N}^*)^2\big)\) est lié.
Définition de la dimension : dans un espace vectoriel de dimension finie non réduit à \(\{ \vec{0} \}\), toutes les bases ont le même nombre d’éléments.
Dans un espace vectoriel de dimension finie \(n\in\mathbb{N}^*\),
toute famille libre possède au plus \(n\) vecteurs.
toute famille libre de \(n\) vecteurs est une base.
Enoncé équivalent pour les familles génératrices. Théorème de la base incomplète (les vecteurs ajoutés peuvent être choisis dans une famille génératrice donnée).
Dimension de l’espace produit. Sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie.
Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie possède un supplémentaire.
Formule de Grassmann : \(\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim (F\cap G)\).
\(F\) et \(G\) sont en somme directe dans \(E\) ssi \(\dim(F+G)=\dim F+\dim G\).
Définition (et uniquement cela pour l’instant) du rang d’une famille de vecteurs.
Isomorphismes entre espaces vectoriels de dimension finie : \(E\simeq F \Leftrightarrow \dim E=\dim F\).
Dimension de \(\mathcal{L}(E,F)\) : si \(E\) et \(F\) sont de dimension finie, \(\dim \mathcal{L}(E,F)=(\dim E)(\dim F)\).
Rang d’une application linéaire définie entre deux espaces vectoriels de dimension finie.
Formule du rang : si \(f\in\mathcal{L}(E,F)\), alors \(\dim E=\dim \ker f+\mathrm{rg} f\).
Equivalence entre injectivité, surjectivité et bijectivité pour \(u\in\mathcal{L}(E,F)\) avec \(\dim E=\dim F\).
Fonctions en escalier et subdivisions subordonnées. Intégrale d’une fonction en escalier.
Fonction continue par morceaux. Intégrale d’une fonction continue par morceaux : Notation \(\int_{[a;b]}f\).
Propiétés algébriques de l’intégrale. Positivité et croissance. Inégalités de continuité.
Extensions de la définition : notation \(\int_a^b f(t) \,\mathrm{d}t\).
Inégalité de Cauchy-Schwarz et relation de Chasles. Sommes de Riemann. Exemples.
Questions de cours relatives au programme
Composition d’applications linéaires, réciproque d’une application linéaire : énoncé et preuve.
Image directe d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire : énoncé et preuve.
Définition de système libre, de système lié, de système générateur. Définition de base.
Caractérisation de l’injectivité et de la surjectivité d’une application linéaire \(f\) par \(\mathrm{Ker}f\) et \(\mathrm{Im} f\) : énoncé et preuve.
Caractérisation de l’injectivité et de la surjectivité d’une application linéaire par l’image d’une base : énoncé et preuve.
Définition de la dimension d’un espace vectoriel de dimension finie et justification.
Théorème de la base incomplète : énoncé seulement.
Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie possède un supplémentaire : preuve.
![[Maths] Colles semaines 23 et 24](https://www.pcsi2.net/cpge/wp-content/uploads/2013/03/Division-euclidienne.png)
