Bijections, image directe et réciproque d’une partie par une application. Fonctions usuelles.
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Actualités du lycée Fabert
Bonjour monsieur,
Je ne parviens pas à comprendre comment répondre à la question 3a du problème.
Vous pouvez commencer par montrer que pour tout \(z\in \mathbb{R}\setminus\{ 1 \}\), \[|f(z)|=1\]
Cela permet de montrer une inclusion ! Il faut ensuite démontrer l’inclusion dans l’autre sens. Vous pouvez utiliser le fait que tout élément de \(E\) possède un antécédent par \(f\).
Bon courage !
Bonjour monsieur,
Pour la question 3b pour montrer que f(P) c D je trouve z*zbarre+2i Im(z) +1 / z*zbarre – 2i Im(z)+1 mais je ne sais pas comment conclure à partir de ce résultat
Merci d’avance et bonne journée
Bonjour Léa.
Cela me semble PRESQUE bien ! Il n’y a pas de i, ni au numérateur ni au dénominateur !!
Vous souhaitez démontrer que \(|f(z)|^2\leqslant 1\) : cela revient à montrer ici que votre numérateur (positif) est plus petit que votre dénominateur (positif aussi). De la sorte, votre quotient sera plus petit que 1 !
Faites alors la différence numérateur – dénominateur et vous trouverez un nombre négatif !!
Bon courage.
bonjour Mr,
J’obtiens a la question 2a f-1(z)=-i(z+1)/1-Z est ce juste ? car pour la question 2b j’ai besoin du résultat la.
Merci bien pour votre réponse.
Bonjour Benjamin.
N’oubliez pas de lire les questions des autres étudiants … car j’ai déjà répondu à votre question ici même hier à 19h06 !
Bon courage
Bonjour Monsieur,
Pour la question 3a, faut-il procéder par double inclusion comme dans la 3b ou y’a-t’il une autre méthode ?
Merci d’avance
Bonsoir Claire.
Ma réponse est sans détour : OUI, OUI et OUI. Nous en parlerons en TD (au lycée ou à distance …) : bien souvent, pour déterminer une image directe, on doit procéder par double inclusion pour bien démontrer l’égalité demandée. C’est le cas ici !
Vous avez remarqué que bien souvent, ce n’est pas le cas pour l’image réciproque car on peut procéder plus simplement par équivalences …
Bon travail !
Bonjour Monsieur,
Pour la question 2a, pour montrer que f est bijective j’ai d’abord montré qu’elle était injective mais pour montrer qu’elle est surjective je ne sais pas trop comment faire. Peut-on par exemple réutiliser la question 1a) et procéder par double inclusion pour ensuite dire que f(E)=E?
Et pour l’expression de f^-1, est-ce juste si je trouve i((z+1)/(z-1)) ?
Merci d’avance et bon après midi.
Bonjour Claire.
1.- Vous pouvez très bien montrer l’injectivité puis la surjectivité de \(f\). Pourquoi pas ! Pour la surjectivité, fixez \(z’\in E\) : vous devez montrer qu’il existe au moins un \(z\in E\) tel que \(z’=f(z)\). Cela devient à considérer l’équation \[f(z)=z’\quad \text{d’inconnue }z\in E\] où \(z’\in E\) est fixé et à montrer qu’elle admet bien une solution (au moins).
Bref, c’est une résolution d’équation. Comme vous avez déjà montré que \(f\) est injective, vous savez que cette équation possède au plus une solution \(z\in E\). Faites la résolution et vous trouverez donc exactement un \(z\in E\) solution … mais au fait, votre solution est-elle bien dans \(E\) ? Ne pas oublier de le vérifier !
Rq : montrer que \(f(E)=E\) revient à montrer que \(E\subset f(E)\) et donc, en fait, à faire ce que je viens d’expliquer plus haut !!
2.- J’ai également trouvé \[f^{-1}: E \longrightarrow E,\ z’\longmapsto i \frac{z’+1}{z’-1}\]
Bon courage pour la suite !
Bonjour,
Dans l’exercice 1a)
J’ai du mal à comprendre comment on doit vérifier que f(E)⊂ E.
Bonjour Thomas L !
Il faut bien connaître la définition d’image directe d’une partie par une application : \[f(E)= \{f(z),\ z\in E \}\]
Ainsi, vous devez démontrer que pour tout \(z\in E,\ f(z)\in E\) c’est-à-dire que pour tout \( z\in E,\ f(z)\not=1 \text{ et } f(z)\not= i\).
Bon courage !
Bonsoir monsieur
C’est bon j’ai trouvé l’erreur merci !
Super !
Image :
Est ce que pour la question 3a utiliser la definition de l’image directe peut permettre de démontrer ce que l’on veut car je ne vois pas comment l’utiliser merci
Bonsoir Léa.
La réponse à votre question est OUI : on parvient au résultat attendu en utilisant la définition d’image directe !
Comment : par double inlusion !
1.- Mq \(f(P)\subset D\). Soit \(z’\in f(P)\) : il existe \(z\in P\) tel que \(z’=f(z)\). Alors, \[ |z’|^2=z’\bar z’ = f(z)\overline{f(z)} = \cdots \]
Utilisez alors la définition de \(f(z)\) et essayez de faire apparaître \(\mathrm{Im}(z)=(z-\bar z)/(2i)<0\) pour montrer que \(|z'|^2<1\) c'est-à-dire \(z'\in D\).
2.- Mq \(D\subset f(P)\). Soit \(z'\in D\) : on peut affirmer que \(z'\) possède un antécédent \(z\in E\) par \(f\) (expliquez pourquoi). Ainsi, \(z'=f(z)\) et il ne "reste plus qu'à montrer que" \(z\in P\) en utilisant \(|z'|^2<1\)
Bon courage, c'est un exercice formateur et classique !
bonjour Mr,
Je bloque à la question 2b. Peut on dire que comme f est bijective alors f-1=f et donc l’application f vérifie fof=id ?
Bonjour Benjamin.
Vous ne pouvez pas écrire \(f^{-1}=f\) : c’est faux ici !
Par contre, si vous avez répondu à la question 2a, vous disposez d’une expression de \(f^{-1}\). Vous pouvez alors vérifier par le calcul que pour tout \(z\in E,\ (f\circ f)(z)=f^{-1}(z)\) soit \[ f\circ f = f^{-1} \]
Composez cette relation par \(f\) ….
Bon travail !
Bonjour Monsieur,
Pour la 1b je trouve -2i(Re(z)=0 pour l’image réciproque de iR privé de i je ne comprends pas comment faire ensuite pour dire que c’est égal a U privé de 1 et i
Merci
Bonjour Léa.
Votre calcul est faux. Je trouve l’équivalence \( z\in f^{-1}(i\mathbb{R}\setminus\{i\}) \Leftrightarrow z\bar z=1 \).
Il n’y a pas de \(2i\mathrm{Re}(z)=0 \) …
Bon courage.
Vous pouvez envoyer une photo ici en cliquant sur « joindre le fichier » pour détailler votre calcul … et merci de veiller à envoyer une photo sans rotation de 90°, 180° ou 270° … je ne lis pas vos messages sur smartphone !!
Bonsoir monsieur,
j’ ai un peu de mal sur la question 3b)
peut-on montrer que f(P)=D en montrant que f-1(D)= P? Pour montrer que f-1(D)= P on utilise votre méthode : f-1(D) équivaut à f(z) appartient à D donc |f-1(z)|<1 et on doit normalement retomber sur l'ensemble P. Je me demandais si on pouvait procéder ainsi. Merci d'avance, bonne soirée
Bonsoir Marie T !
—> peut-on montrer que f(P)=D en montrant que f-1(D)= P?
C’est possible ici CAR \(f\) est biejective MAIS FORTEMENT déconseillé car si dans le DS \(f\) n’est PAS BIJECTIVE, vous ne pourrez pas utiliser cette méthode. Utilisez une méthode qui fonctionne à tous les coups !!
DONC, mon conseil est celui-ci : procédez par double inclusion :
1) Montrez que \(f(P)\subset D\) : Soit \(z’ \in f(P)\) : il existe \(z\in P\) tel que \(z’=f(z)\). Vous devez alors montrer que \(z’=f(z)\in D\) c’est-à-dire \(|f(z)|^2<1\) ou encore \(f(z)\overline{f(z)}<1\). Vous pouvez essayer d'exprimer \( f(z)\overline{f(z)} \)en fonction de \(\mathrm{Im}(z)\) !
2) Montrez que \( D\subset f(P)\) : réfléchir .... 😉
Bon courage ...
Bonjour monsieur,
j’ ai une question sur la 1b. J’ai trouvé comme ensemble iR/{i} pour l’image réciproque de R/{1}. mais pour l image réciproque de iR/{i}, je trouve l’ensemble U. L’ensemble est donc le cercle de centre 0 et de rayon sans les points(0;i) et (1;0), mais est ce que je dois montrer que f(z) ,avec z appartenant à U, appartient à iR/{i}?
j’avais montré avant que z appartient à U quand f(z)= ib avec ib appartenant à iR{i}.
Oui, c’est bien cela Marie : \[f^{-1}(\mathbb{R}\setminus\{1\})=i\mathbb{R\setminus\{i\}} \]
De même, \(f^{-1}(i\mathbb{R}\setminus\{i\})=\mathbb{U}\setminus\{i,1\} \).
Par contre, nul besoin de montrer que pour tout \(z\in\mathbb{U}\setminus\{1,i\}, f(z)\in i\mathbb{R}\setminus\{i\}\)
En effet, pour trouver l’image réciproque de \( i\mathbb{R}\setminus\{i\} \), il suffit de démontrer que \[ z\in f^{-1}(i\mathbb{R}\setminus\{i\}) \quad\text{ssi}\quad z\in\mathbb{U}\setminus\{ i,1\}\]
bonjour Mr après avoir cherché j’ai les 3 cas suivant les valeurs de a avec a=0 ou a supérieur a 0 ou a inferieur a 0 , pour l’étude de chaque cas doit on prendre une valeur de a par exemple a=2 et voir la valeur de Fa sur chaque intervalle , par exemple pour a=0 j’obtiens -pi/3 comme valeur ? est-ce le bon raisonnement. Merci et bonne après-midi
Non, non Aurélien. On ne fixe pas de valeur de \(a\).
Dans le cas où \(a>0\), prenez une valeur de \(f_a\) sur \(]\frac{a}{2}; 2a[\), par exemple au point \(a\) ! Sur \(]2a;+\infty[\), vous pouvez calculer une limite en \(2a^+\) ou en \(+\infty\) ….
Il faut faire cela dans les 3 cas.
Bon travail …
Bonjour Monsieur,
Pour le problème 1 pour les images réciproques on doit appliquer la formule mais comment à partir de ça on peut les représenter dans le plan complexe je ne comprends pas
merci d’avance
Bonjour Léa.
Raisonnons par équivalences et fixant \(z\in E\). LPSSE :
1. \(z\in f^{-1}(\mathbb{R}\setminus\{1\})\)
2. \(f(z)\in \mathbb{R}\setminus\{1\} \)
3. \(f(z)\in \mathbb{R} \)
car \(f(z) \in E\) et donc obligatoirement \(f(z)\not=1\).
Demandez-vous alors ce que signifie le fait qu’un complexe \(u\) soit un réel : cela veut dire que \(\mathrm{Im}(u)=0\).
4. \(Im(f(z))=0\)
… et quelle est la définition de la partie imaginaire ???
5. \(\frac{1}{2i}(f(z)-\overline{f(z)})=0\)
6. \(f(z)=\overline{f(z)}\)
7. \(\frac{z+i}{z-i}= \frac{\bar z-i}{\bar z+i} \)
8. \( (z+i)(\bar z+i)=(z-i)(\bar z-i) \)
On simplifie, on passe tout dans le membre de gauche et on trouve une condition sur \(z\) qui déterminera une écriture de \(f^{-1}(\mathbb{R}\setminus\{1\})\), et tout cela SANS JAMAIS POSER \(z=x+i\,y\) avec \(x,\, y\) réels, car cela ne sert à rien et aurait compliqué les calculs …
Bon courage pour la suite !
Bonjour Mr pour l’exercice 1 j’ai également trouvé que la dérivée était nulle mais f n’est pas définie sur R car pour x = a/2 et x = 2a on a un problème. Je ne vois pas comment poursuivre l’exercice si la dérivée est constante ? Auriez vous des pistes ?
Bonsoir Aurélien.
Est-ce que \(\frac{a}{2}\) est plus grand que \(2a\) ou le contraire et dans quels cas ? Peut-on avoir \(\frac{a}{2}=2a\) .?
Il y a trois cas en tout.
Dans chaque cas, on prend une valeur de \(f_a\) sur CHAQUE INTERVALLE de l’ensemble de définition pour trouver la valeur constante de \(f_a\) sur CHAQUE INTERVALLE. Remarque : on peut aussi calculer une limite en \(+\infty\) et \(-\infty\) …
Vous pouvez observer ce qu’il se passe en bougeant le curseur définissant \(a\) sur la page :
https://www.desmos.com/calculator/dlqh6ol3bb
J’en profite pour vous inciter à lire l’article :
https://www.pcsi2.net/cpge/mathematiques/realiser-un-graphique-rapide/
Bon courage !
Est ce correct si dans l’exercice 1 je trouve que la dérivée est nulle?
Bonjour Marie.
Oui, la dérivée est nulle, bravo pour les calculs ! Cependant, cela ne signifie pas que \(f_a\) est constante sur son ensemble de définition puisque celui-ci n’est pas un intervalle …
Bon courage pour la suite … il y a plusieurs cas suivant les valeurs de \(a\).
Bonjour Monsieur,
Je ne vois pas comment représenter les ensembles dans le plan complexe pour la question 1b
Bonjour Marie.
Si vous trouvez l’ensemble \(\mathbb{R}\), vous le représenterez par une droite (la droite d’équation \(y=0\)).
Si vous trouvez l’ensemble \(i\mathbb{R}\), vous le représenterez par une droite (la droite d’équation \(x=0\)).
Si vous trouvez l’ensemble \(\mathbb{U}\), vous le représenterez par le cercle de centre \(O\). et de rayon 1.
Pouvez-vous préciser les ensembles que vous avez obtenus ?