• Pronote Lycée Fabert
  • Site du lycée Fabert
  • Infos concours
PCSI2 du lycée Fabert (Metz)
  • twitter
  • flickr
  • youtube
  • rss
  • Accueil
  • Blog
  • Calendrier
  • Conseils
  • Colles
    • Colles de Mathématiques
    • Colles de Physique
  • SAV
    • SAV des DL de mathématiques
    • SAV des DM de physique
  • Cours et TP de φ
    • 1. Signaux Physiques
    • 2. Mécanique
    • 3. Thermodynamique
    • 4. Induction et force de Laplace
    • TP de Physique
  • TIPE

SAV du DL n°3 de mathématiques

SAV du DL n°3 de mathématiques

Bijections, image directe et réciproque d’une partie par une application. Fonctions usuelles.
RSS


Vous pouvez poser vos questions ici … et suivre les commentaires en vous abonnant au flux des commentaires situé juste sous le titre.

Autre possibilité, l’abonnement par courriel : un lien est disponible tout en bas de la page. En vous inscrivant pour cet article uniquement, vous recevrez une notification par mail lorsqu’un élève ou un professeur a laissé un commentaire.

Par ailleurs, il est possible à tout moment d’arrêter cet abonnement et de gérer vos différents abonnements aux commentaires.

Tags

DL

35 Comments

  1. Julie
    31 octobre 2020 at 15 h 25 min

    Bonjour monsieur,
    Je ne parviens pas à comprendre comment répondre à la question 3a du problème.

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      31 octobre 2020 at 15 h 53 min

      Vous pouvez commencer par montrer que pour tout \(z\in \mathbb{R}\setminus\{ 1 \}\), \[|f(z)|=1\]
      Cela permet de montrer une inclusion ! Il faut ensuite démontrer l’inclusion dans l’autre sens. Vous pouvez utiliser le fait que tout élément de \(E\) possède un antécédent par \(f\).

      Bon courage !

  2. Léa
    30 octobre 2020 at 10 h 30 min

    Bonjour monsieur,
    Pour la question 3b pour montrer que f(P) c D je trouve z*zbarre+2i Im(z) +1 / z*zbarre – 2i Im(z)+1 mais je ne sais pas comment conclure à partir de ce résultat
    Merci d’avance et bonne journée

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      30 octobre 2020 at 10 h 39 min

      Bonjour Léa.

      Cela me semble PRESQUE bien ! Il n’y a pas de i, ni au numérateur ni au dénominateur !!

      Vous souhaitez démontrer que \(|f(z)|^2\leqslant 1\) : cela revient à montrer ici que votre numérateur (positif) est plus petit que votre dénominateur (positif aussi). De la sorte, votre quotient sera plus petit que 1 !

      Faites alors la différence numérateur – dénominateur et vous trouverez un nombre négatif !!

      Bon courage.

  3. Benjamin
    28 octobre 2020 at 18 h 34 min

    bonjour Mr,
    J’obtiens a la question 2a f-1(z)=-i(z+1)/1-Z est ce juste ? car pour la question 2b j’ai besoin du résultat la.

    Merci bien pour votre réponse.

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      28 octobre 2020 at 19 h 59 min

      Bonjour Benjamin.

      N’oubliez pas de lire les questions des autres étudiants … car j’ai déjà répondu à votre question ici même hier à 19h06 !

      Bon courage

  4. Claire
    28 octobre 2020 at 15 h 52 min

    Bonjour Monsieur,
    Pour la question 3a, faut-il procéder par double inclusion comme dans la 3b ou y’a-t’il une autre méthode ?
    Merci d’avance

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      28 octobre 2020 at 19 h 52 min

      Bonsoir Claire.

      Ma réponse est sans détour : OUI, OUI et OUI. Nous en parlerons en TD (au lycée ou à distance …) : bien souvent, pour déterminer une image directe, on doit procéder par double inclusion pour bien démontrer l’égalité demandée. C’est le cas ici !

      Vous avez remarqué que bien souvent, ce n’est pas le cas pour l’image réciproque car on peut procéder plus simplement par équivalences …

      Bon travail !

  5. Claire
    27 octobre 2020 at 16 h 39 min

    Bonjour Monsieur,
    Pour la question 2a, pour montrer que f est bijective j’ai d’abord montré qu’elle était injective mais pour montrer qu’elle est surjective je ne sais pas trop comment faire. Peut-on par exemple réutiliser la question 1a) et procéder par double inclusion pour ensuite dire que f(E)=E?
    Et pour l’expression de f^-1, est-ce juste si je trouve i((z+1)/(z-1)) ?
    Merci d’avance et bon après midi.

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      27 octobre 2020 at 19 h 06 min

      Bonjour Claire.

      1.- Vous pouvez très bien montrer l’injectivité puis la surjectivité de \(f\). Pourquoi pas ! Pour la surjectivité, fixez \(z’\in E\) : vous devez montrer qu’il existe au moins un \(z\in E\) tel que \(z’=f(z)\). Cela devient à considérer l’équation \[f(z)=z’\quad \text{d’inconnue }z\in E\] où \(z’\in E\) est fixé et à montrer qu’elle admet bien une solution (au moins).

      Bref, c’est une résolution d’équation. Comme vous avez déjà montré que \(f\) est injective, vous savez que cette équation possède au plus une solution \(z\in E\). Faites la résolution et vous trouverez donc exactement un \(z\in E\) solution … mais au fait, votre solution est-elle bien dans \(E\) ? Ne pas oublier de le vérifier !

      Rq : montrer que \(f(E)=E\) revient à montrer que \(E\subset f(E)\) et donc, en fait, à faire ce que je viens d’expliquer plus haut !!

      2.- J’ai également trouvé \[f^{-1}: E \longrightarrow E,\ z’\longmapsto i \frac{z’+1}{z’-1}\]

      Bon courage pour la suite !

  6. Thomas L
    27 octobre 2020 at 13 h 56 min

    Bonjour,
    Dans l’exercice 1a)
    J’ai du mal à comprendre comment on doit vérifier que f(E)⊂ E.

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      27 octobre 2020 at 18 h 47 min

      Bonjour Thomas L !

      Il faut bien connaître la définition d’image directe d’une partie par une application : \[f(E)= \{f(z),\ z\in E \}\]
      Ainsi, vous devez démontrer que pour tout \(z\in E,\ f(z)\in E\) c’est-à-dire que pour tout \( z\in E,\ f(z)\not=1 \text{ et } f(z)\not= i\).

      Bon courage !

  7. Léa
    26 octobre 2020 at 17 h 49 min

    Bonsoir monsieur
    C’est bon j’ai trouvé l’erreur merci !

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      26 octobre 2020 at 19 h 33 min

      Super !

      Image :

  8. Léa
    26 octobre 2020 at 10 h 53 min

    Est ce que pour la question 3a utiliser la definition de l’image directe peut permettre de démontrer ce que l’on veut car je ne vois pas comment l’utiliser merci

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      26 octobre 2020 at 17 h 09 min

      Bonsoir Léa.

      La réponse à votre question est OUI : on parvient au résultat attendu en utilisant la définition d’image directe !

      Comment : par double inlusion !

      1.- Mq \(f(P)\subset D\). Soit \(z’\in f(P)\) : il existe \(z\in P\) tel que \(z’=f(z)\). Alors, \[ |z’|^2=z’\bar z’ = f(z)\overline{f(z)} = \cdots \]
      Utilisez alors la définition de \(f(z)\) et essayez de faire apparaître \(\mathrm{Im}(z)=(z-\bar z)/(2i)<0\) pour montrer que \(|z'|^2<1\) c'est-à-dire \(z'\in D\).

      2.- Mq \(D\subset f(P)\). Soit \(z'\in D\) : on peut affirmer que \(z'\) possède un antécédent \(z\in E\) par \(f\) (expliquez pourquoi). Ainsi, \(z'=f(z)\) et il ne "reste plus qu'à montrer que" \(z\in P\) en utilisant \(|z'|^2<1\)

      Bon courage, c'est un exercice formateur et classique !

  9. Benjamin
    26 octobre 2020 at 10 h 41 min

    bonjour Mr,
    Je bloque à la question 2b. Peut on dire que comme f est bijective alors f-1=f et donc l’application f vérifie fof=id ?

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      26 octobre 2020 at 16 h 54 min

      Bonjour Benjamin.
      Vous ne pouvez pas écrire \(f^{-1}=f\) : c’est faux ici !

      Par contre, si vous avez répondu à la question 2a, vous disposez d’une expression de \(f^{-1}\). Vous pouvez alors vérifier par le calcul que pour tout \(z\in E,\ (f\circ f)(z)=f^{-1}(z)\) soit \[ f\circ f = f^{-1} \]

      Composez cette relation par \(f\) ….
      Bon travail !

  10. Léa
    26 octobre 2020 at 10 h 22 min

    Bonjour Monsieur,
    Pour la 1b je trouve -2i(Re(z)=0 pour l’image réciproque de iR privé de i je ne comprends pas comment faire ensuite pour dire que c’est égal a U privé de 1 et i
    Merci

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      26 octobre 2020 at 15 h 59 min

      Bonjour Léa.
      Votre calcul est faux. Je trouve l’équivalence \( z\in f^{-1}(i\mathbb{R}\setminus\{i\}) \Leftrightarrow z\bar z=1 \).

      Il n’y a pas de \(2i\mathrm{Re}(z)=0 \) …

      Bon courage.

      Vous pouvez envoyer une photo ici en cliquant sur « joindre le fichier » pour détailler votre calcul … et merci de veiller à envoyer une photo sans rotation de 90°, 180° ou 270° … je ne lis pas vos messages sur smartphone !!

  11. Marie T
    24 octobre 2020 at 18 h 58 min

    Bonsoir monsieur,
    j’ ai un peu de mal sur la question 3b)
    peut-on montrer que f(P)=D en montrant que f-1(D)= P? Pour montrer que f-1(D)= P on utilise votre méthode : f-1(D) équivaut à f(z) appartient à D donc |f-1(z)|<1 et on doit normalement retomber sur l'ensemble P. Je me demandais si on pouvait procéder ainsi. Merci d'avance, bonne soirée

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      24 octobre 2020 at 19 h 14 min

      Bonsoir Marie T !

      —> peut-on montrer que f(P)=D en montrant que f-1(D)= P?

      C’est possible ici CAR \(f\) est biejective MAIS FORTEMENT déconseillé car si dans le DS \(f\) n’est PAS BIJECTIVE, vous ne pourrez pas utiliser cette méthode. Utilisez une méthode qui fonctionne à tous les coups !!

      DONC, mon conseil est celui-ci : procédez par double inclusion :

      1) Montrez que \(f(P)\subset D\) : Soit \(z’ \in f(P)\) : il existe \(z\in P\) tel que \(z’=f(z)\). Vous devez alors montrer que \(z’=f(z)\in D\) c’est-à-dire \(|f(z)|^2<1\) ou encore \(f(z)\overline{f(z)}<1\). Vous pouvez essayer d'exprimer \( f(z)\overline{f(z)} \)en fonction de \(\mathrm{Im}(z)\) !

      2) Montrez que \( D\subset f(P)\) : réfléchir .... 😉

      Bon courage ...

  12. Marie T
    23 octobre 2020 at 17 h 25 min

    Bonjour monsieur,
    j’ ai une question sur la 1b. J’ai trouvé comme ensemble iR/{i} pour l’image réciproque de R/{1}. mais pour l image réciproque de iR/{i}, je trouve l’ensemble U. L’ensemble est donc le cercle de centre 0 et de rayon sans les points(0;i) et (1;0), mais est ce que je dois montrer que f(z) ,avec z appartenant à U, appartient à iR/{i}?

    Connectez-vous pour répondre
    1. Marie T
      23 octobre 2020 at 17 h 36 min

      j’avais montré avant que z appartient à U quand f(z)= ib avec ib appartenant à iR{i}.

    2. Laurent PARISE
      23 octobre 2020 at 20 h 33 min

      Oui, c’est bien cela Marie : \[f^{-1}(\mathbb{R}\setminus\{1\})=i\mathbb{R\setminus\{i\}} \]
      De même, \(f^{-1}(i\mathbb{R}\setminus\{i\})=\mathbb{U}\setminus\{i,1\} \).

      Par contre, nul besoin de montrer que pour tout \(z\in\mathbb{U}\setminus\{1,i\}, f(z)\in i\mathbb{R}\setminus\{i\}\)

      En effet, pour trouver l’image réciproque de \( i\mathbb{R}\setminus\{i\} \), il suffit de démontrer que \[ z\in f^{-1}(i\mathbb{R}\setminus\{i\}) \quad\text{ssi}\quad z\in\mathbb{U}\setminus\{  i,1\}\]

  13. Aurélien
    23 octobre 2020 at 15 h 27 min

    bonjour Mr après avoir cherché j’ai les 3 cas suivant les valeurs de a avec a=0 ou a supérieur a 0 ou a inferieur a 0 , pour l’étude de chaque cas doit on prendre une valeur de a par exemple a=2 et voir la valeur de Fa sur chaque intervalle , par exemple pour a=0 j’obtiens -pi/3 comme valeur ? est-ce le bon raisonnement. Merci et bonne après-midi

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      23 octobre 2020 at 15 h 59 min

      Non, non Aurélien. On ne fixe pas de valeur de \(a\).

      Dans le cas où \(a>0\), prenez une valeur de \(f_a\) sur \(]\frac{a}{2}; 2a[\), par exemple au point \(a\) ! Sur \(]2a;+\infty[\), vous pouvez calculer une limite en \(2a^+\) ou en \(+\infty\) ….

      Il faut faire cela dans les 3 cas.
      Bon travail …

  14. Léa
    23 octobre 2020 at 9 h 22 min

    Bonjour Monsieur,
    Pour le problème 1 pour les images réciproques on doit appliquer la formule mais comment à partir de ça on peut les représenter dans le plan complexe je ne comprends pas
    merci d’avance

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      23 octobre 2020 at 15 h 40 min

      Bonjour Léa.
      Raisonnons par équivalences et fixant \(z\in E\). LPSSE :

      1. \(z\in f^{-1}(\mathbb{R}\setminus\{1\})\)
      2. \(f(z)\in \mathbb{R}\setminus\{1\} \)
      3. \(f(z)\in \mathbb{R} \)

      car \(f(z) \in E\) et donc obligatoirement \(f(z)\not=1\).
      Demandez-vous alors ce que signifie le fait qu’un complexe \(u\) soit un réel : cela veut dire que \(\mathrm{Im}(u)=0\).

      4. \(Im(f(z))=0\)

      … et quelle est la définition de la partie imaginaire ???

      5. \(\frac{1}{2i}(f(z)-\overline{f(z)})=0\)
      6. \(f(z)=\overline{f(z)}\)
      7. \(\frac{z+i}{z-i}= \frac{\bar z-i}{\bar z+i} \)
      8. \( (z+i)(\bar z+i)=(z-i)(\bar z-i) \)

      On simplifie, on passe tout dans le membre de gauche et on trouve une condition sur \(z\) qui déterminera une écriture de \(f^{-1}(\mathbb{R}\setminus\{1\})\), et tout cela SANS JAMAIS POSER \(z=x+i\,y\) avec \(x,\, y\) réels, car cela ne sert à rien et aurait compliqué les calculs …

      Bon courage pour la suite !

  15. Aurélien
    22 octobre 2020 at 16 h 41 min

    Bonjour Mr pour l’exercice 1 j’ai également trouvé que la dérivée était nulle mais f n’est pas définie sur R car pour x = a/2 et x = 2a on a un problème. Je ne vois pas comment poursuivre l’exercice si la dérivée est constante ? Auriez vous des pistes ?

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      22 octobre 2020 at 19 h 31 min

      Bonsoir Aurélien.
      Est-ce que \(\frac{a}{2}\) est plus grand que \(2a\) ou le contraire et dans quels cas ? Peut-on avoir \(\frac{a}{2}=2a\) .?
      Il y a trois cas en tout.

      Dans chaque cas, on prend une valeur de \(f_a\) sur CHAQUE INTERVALLE de l’ensemble de définition pour trouver la valeur constante de \(f_a\) sur CHAQUE INTERVALLE. Remarque : on peut aussi calculer une limite en \(+\infty\) et \(-\infty\) …

      Vous pouvez observer ce qu’il se passe en bougeant le curseur définissant \(a\) sur la page :
      https://www.desmos.com/calculator/dlqh6ol3bb

      J’en profite pour vous inciter à lire l’article :
      https://www.pcsi2.net/cpge/mathematiques/realiser-un-graphique-rapide/

      Bon courage !

  16. Marie D
    21 octobre 2020 at 15 h 07 min

    Est ce correct si dans l’exercice 1 je trouve que la dérivée est nulle?

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      22 octobre 2020 at 8 h 29 min

      Bonjour Marie.
      Oui, la dérivée est nulle, bravo pour les calculs ! Cependant, cela ne signifie pas que \(f_a\) est constante sur son ensemble de définition puisque celui-ci n’est pas un intervalle …

      Bon courage pour la suite … il y a plusieurs cas suivant les valeurs de \(a\).

  17. Marie D
    21 octobre 2020 at 14 h 00 min

    Bonjour Monsieur,

    Je ne vois pas comment représenter les ensembles dans le plan complexe pour la question 1b

    Connectez-vous pour répondre
    1. Laurent PARISE
      22 octobre 2020 at 8 h 32 min

      Bonjour Marie.
      Si vous trouvez l’ensemble \(\mathbb{R}\), vous le représenterez par une droite (la droite d’équation \(y=0\)).
      Si vous trouvez l’ensemble \(i\mathbb{R}\), vous le représenterez par une droite (la droite d’équation \(x=0\)).
      Si vous trouvez l’ensemble \(\mathbb{U}\), vous le représenterez par le cercle de centre \(O\). et de rayon 1.

      Pouvez-vous préciser les ensembles que vous avez obtenus ?

Leave a Reply Annuler la réponse

Vous devez être connecté pour publier un commentaire.

Cliquez ici pour vous connecter

RSS Actualités du lycée Fabert

  • Journée “Pull de Noël” 25 novembre 2020
  • CONNEXION A MON BUREAU NUMERIQUE Nouvelle procédure pour les responsables 13 octobre 2020
    Une nouvelle plateforme de connexion se met en place à partir du 12 octobre . EduConnect sera votre compte unique pour suivre et accompagner la scolarité de votre enfant (il […]
  • Retrait des diplômes du Baccalauréat 2020 12 octobre 2020
    Les diplômes sont à retirer au secrétariat des élèves à partir du  vendredi 30 octobre 2020 jusqu’au 30 septembre 2021. Le candidat devra se munir d’une pièce d’identité […]
  • Concert des lycées, Roméo & Juliette 4.0 6 octobre 2020
    En attendant de retrouver le Concert des Lycées sur scène en 2021, si les conditionssanitaires le permettent, voici un extrait du programme musical du spectacle 2020/2021Roméo & Juliette […]

Photos du lycée

Liens vers des sites connexes

  • L'école Polytechnique L'école Polytechnique
  • Le forum de l'UPS Le forum de l'UPS
  • Le groupe Centrale-Supélec Le groupe Centrale-Supélec
  • Les écoles du concours Mines-Ponts Les écoles du concours Mines-Ponts
  • Les écoles du groupe CCINP Les écoles du groupe CCINP

Accéder au webmail

Se connecter

Derniers exercices de mathématiques

  • Exercice 08-026 + Indications
  • Exercice 08-025 + Indications
  • Exercice 08-024 + Indications
  • Exercice 08-023 + Indications

Anciens élèves de PCSI²

  • Un modeste circuit RLC, quelques calculs, un voltmètre, et des résultats théoriques qui coïncident exactement avec l’expérience … Elémentaire, insignifiant, et pourtant, « le réel, soudain, vous répond » read more →
    Johann MOULIN (Centrale Paris)
  • En prépa, un élève motivé et déterminé n'a aucun souci à se faire. read more →
    Victor ALIBERT (Centrale Paris)
  • Mon parcours s'est très bien passé, certains parmi mes camarades étant devenus au fil des jours de très bons amis, lesquels m’ont permis d’avoir une motivation plus que débordante durant ces deux… read more →
    Bérénice REMY (Mines DOUAI)
  • Travaillez les langues, leur importance est loin d'être négligeable. read more →
    Zine Megzari (Mines Nancy)
  •  C’est aussi un moyen pour quiconque qui en a la motivation d’accéder à des écoles reconnues dans le monde de l’entreprise. read more →
    Thhibaud ASCHBACHER (Centrale Paris)
  • Pendant ces deux ans, la prépa m'a appris à travailler pour atteindre mes propres objectifs. Outre la motivation personnelle, l'ambiance de travail agréable qui règne dans les classes préparatoires du Lycée Fabert… read more →
    Clémence TASSIN (Centrale Lille)
  • Dès les premières semaines de la prépa, j’ai remarqué que le travail demandé n’avait rien de comparable à ce qu’on nous avait demandé auparavant. Les connaissances requises doivent être très rapidement bien… read more →
    Anne-Claire JOLLAIN (Chimie PARIS)
  • Certes, la prépa et les loisirs ne font pas bon ménage, mais avec une certaine organisation, il est possible de garder un rythme de vie très équilibré. Je crois que s’octroyer du… read more →
    Sophie RASMUS (Mines de Nancy)

Twitter CPGE Fabert

CPGE FabertFollow

CPGE Fabert
CPGEFabertCPGE Fabert@CPGEFabert·
6h

Rendez-vous demain pour le salon virtuel Studyrama.

https://www.studyrama.com/salons?ville=39&mois=315

Prepas_UPSUPS@Prepas_UPS·
29 Oct

Reprise en présentiel annoncée pour les classes prépas
#CPGE https://twitter.com/MayadaBA/status/1321875133057896450

back up
© Copyright 2021 PCSI2 du lycée Fabert (Metz)
  • Plan du site