Bijections, image directe et réciproque d’une partie par une application. Fonctions usuelles.
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Actualités du lycée Fabert
Bonsoir,
Pour l’étude de la dérivabilité (q 3b), en calculant la limite quand h tend vers 0 de
(g(pi+h)-g(pi))/h ou celle de
(g(h)-g(0))/h je ne tombe que sur des formes indéterminées et je ne vois pas l’utilité d’utiliser l’inégalité précédente même si je vois le lien entre « t » et l’expression que vous avez donné en réponse à Léa.
Merci
Bonjour Anthony.
Pour étudier la dérivabilité de \(g\) en \(\pi\), on va calculer \[ \lim_{x\to\pi^-} \frac{g(x)-g(\pi)}{x-\pi} \]
Vous pouvez déjà remarquer que \(g(\pi)=0\) et pour tout \(x\in [\frac{\pi}{2};\pi[ \),
\[
\frac{4-5\cos x}{5-4\cos x} = 1-\frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{5-4\cos x}=1-t^2
\]
avec \(t=\sqrt{2}\frac{\cos x/2}{\sqrt{5-4\cos x}} \).
Expliquez bien ensuite que \( t\in[0;1] \) … pour pouvoir utiliser l’inégalité du début de la question 3b : vous pouvez alors encadrer \(g(x)/(x-\pi)\).
Pour utiliser le théorème d’encadrement, il suffira de remarquer que \( \cos \frac{x}{2}=\sin\frac{\pi-x}{2} \) puis d’utiliser \( \lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u}=1 \) !
Bon courage !
Bonjour,
Pourriez-vous nous donner une indication sur l’expression de f-1 (question 1)b, problème 1) ?
Ensuite, comment montrer que arccos est définie et dérivable sur [0,pi] sachant que arccos est définie sur [-1,1] ?
Puis, pourriez-vous nous donner une indication sur la façon de prouver l’égalité
g(g(x)) = x (Problème 2, partie 2, 2)
ainsi que l’inégalité de la question 3)b (problème 2, partie 2) ?
Merci !
Bonjour Line.
1. Pour l’expression de \(f^{-1}\), regardez attentivement un exercice vu en TD, il y avait la même question . Si \( (z,z’)\in E^2 \), alors \( z’=f(z) \Leftrightarrow z=f^{-1}(z’) \). Cela signifie que vous trouverez l’expression de \(f^{-1}\) en résolvant l’équation \(z’=f(z)\) d’inconnue \(z\in E\).
2. Vous devez démontrer que \( f=\arccos \circ u \) est définie sur \( [0;\pi] \) et non pas \( \arccos \) !! Lisez bien l’énoncé. Ainsi, vous devez montrer que pour tout \(x\in [0;\pi],\ u(x) \in [-1;1] \) ! Pour ce faire, étudiez le signe de \( 1-u^2(x) \)
3. Vous connaissez \(g(x)\) donc pour calculer \(g(u)\), vous remplacez \(x\) par \(u \) … et pour calculer \( g(g(x))\), remplacez \(x\) par \(g(x)\) tout simplement.
4. Pour montrer que \( a(x) \leqslant b(x) \), on a vu (chap 0) que l’on peut étudier la fonction \( x\mapsto b(x)-a(x) \) …
Bonjour,
Dans le problème 1, question 2(b),est-il possible d’avoir un indice sur ce qu’on doit déduire? Et également dans le problème 2, partie II, question 2?
Dans le problème 2, partie I, question 1(b), je ne sais pas comment déduire les solutions de f(x)=x. Faut-il montrer que pour tout x appartenant à ]0,pi] f(x)<x donc que la seule solution est x=0?
Dans la partie II, question 3(b), est-il écrit 1/3(t^3) ou 1/(3t^3)? Ensuite, faut-il calculer la limite quand x tend vers a de g(x)-g(a)/(x-a) pour a=0 puis a=pi?
Merci
Bonjour Léa.
1. Problème 1 question 2b : vous savez déjà que \(f\) est injective donc toute restriction de \(f\) est injective. Ici, \(f(P)=D\), et cela doit vous faire penser à la caractérisation n°2 de la surjectivité d’une application …
2. Problème 2 partie II question 2 : vous avez démontré que \(h\circ h = id_{[0;\pi]}\) où \(h\) est une restriction de \(g\) qui a comme ensemble d’arrivée \([0;\pi]\) (justifiez !). \(h\) est donc bijective et a comme application réciproque … \(h\) !! Vous pouvez en déduire quelque chose sur la courbe représentative de \(h\) donc de \(g\) … car vous savez comment on obtient la courbe représentative de \(h^{-1}\) en fonction de la courbe représentative de \(h\).
3. Question I.1b du problème 2 : vous allez démontrer que pour tout \(x\in\, ]0;\pi],\ f(x) < x\) grâce aux questions 1a et 1b (début) et donc prouver que l'équation \(f(x)=x\) n'a qu'une seule solution sur \([0;\pi]\) et d'ailleurs, vous l'avez trouvée ! \[ \ \ \] 4. Problème 2 partie II question 3b : il est écrit \(\frac{1}{3}t^3\) (règle de priorité des opérations). Ensuite, vous devrez effectivement calculer la limite du taux d'accroissement que vous donnez lorsque \(a=\pi\) puis lorsque \(a=0\). Une indication : écrivez : \[ \frac{4-5\cos x}{5-4\cos x} = \frac{5-4\cos x-1-\cos x}{5-4\cos x}=1-\frac{1+\cos x}{5-4\cos x}= 1-\frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{5-4\cos x} \] Bon courage !
Bonjour,
Que signifie « donner l’expression de f-1 » (Problème 1, question 1)b )?
Et à la question 2)a, pourquoi a-t-on seulement R\{1} et non R\{1,i} puisque E=C\{1,i} ?
Ensuite, dans le problème 2, pour vérifier que f est bien définie sur [0,pi], est-ce suffisant de dire que f est la composée de 2 fonction définie de [0,pi] dans R ?
Enfin, pour étudier le signe de f-sin j’ai calculée sa dérivée et au numérateur de f'(x), on obtient un polynôme en fonction de cos(x) dont une des racines est 2. Dans ce cas, l’équation cos(x)=2 a-t-elle vraiment des solutions ?
Line
Bonjour Line.
1. Expression de \(f^{-1}\) : il s’agit de donner, pour tout \(z’\in E\), \(f^{-1}(z’)= \cdots\) une expression en fonction de \(z’\) !
2. On choisit de calculer l’image directe de \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par \(f\) … et pourquoi pas ! De toute façon, \(i\not\in \mathbb{R}\) donc \(\mathbb{R}\setminus\{1\}=\mathbb{R}\setminus\{1,i\}\) !!
3. Définition de \(f\) dans l’exercice 2 : vous devez PROUVER que le dénominateur ne s’annule pas … en plus de dire que \(f\) est s’écrit comme le quotient de deux fonctions définies sur \([0;\pi]\).
4. Il me semble que vous pouvez démontrer l’inégalité \(2-\cos x\geqslant 1 \) pour tout \(x\in [0;\pi]\). Cela démontre que \(2-\cos\) ne s’annule pas .
Bon courage pour la suite !