Bijections, image directe et réciproque d’une partie par une application. Fonctions usuelles.
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Actualités du lycée Fabert
Bonjour,
Fatou et moi sommes dépitées car nous n’arrivons pas à répondre à la 2ème partie de la question 3c (déduire l’image directe de U privé de i). On voit l’idée mais on n’arrive pas à utiliser les questions précédentes.
Merci
Bonjour Alixe, bonjour Fatou.
Ne noyez pas dépitées …. Pas d’idées NOIRES !
L’idée est la suivante : \[ f(\mathbb{U}\setminus\{ i \})=-\frac{i}{2} + \{ g(\theta),\ \theta\in [0;2\pi[\setminus \{ \tfrac{\pi}{2} \} \}= -\frac{i}{2} +g([0;2\pi[\setminus \{ \tfrac{\pi}{2} \}) \]
où \[ g:[0;2\pi[\setminus \{ \frac{\pi}{2} \} \rightarrow \mathbb{R},\ \theta\mapsto \frac{1}{2}\tan\left( \frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2} \right) \]
Etudiez \(g\) pour démontrer que \( g([0;2\pi[\setminus \{ \frac{\pi}{2} \})=\mathbb{R} \), ce qui démontre que \(f(\mathbb{U}\setminus\{ i \})\) est la droite (horizontale) \( -\frac{i}{2}+\mathbb{R} \).
N’oubliez pas : demain, le jour se lève encore !
Bon courage …
Bonsoir , qu’est ce qu’un point fixe d’une fonction (question 4,b) ?
On dit que \(x\in E\) est un point fixe de \(f:E\rightarrow E\) si \(f(x)=x\).
Bon courage !
Bonjour,
Pour la question 3.c , j’ai essayé de partir de f(e^iO) = 1/(e^-iO)+i
et aussi de l’expression donnée dans la question mais je n’arrive pas à aboutir. Pourriez vous m’aidez ?
Image :
Bonjour MAthilde.
Le calcul me semble juste.
A la dernière ligne, multipliez le numérateur et le dénominateur par \(e^{i\frac{\pi}{4}}\) pour faire apparaître \( e^{i(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4})} \) au numérateur et \(i\) au dénominateur.
Il suffit ensuite de séparer la partie réelle de la partie imaginaire du numérateur, et c’est gagné !
Bon travail !
Merci beaucoup
J’avais au final fait comme Mathilde merci!
pour la question 2,a , est il suffisant de dire que f^-1 (u) est l’ensemble des complexes de partie imaginaire positive ?
Image :
Bonsoir Mathilde.
J’ai parcouru rapidement vos équivalences et le calcul me semble correct jusqu’au point 9.
Vous avez remarqué que cela impose \( \mathrm{Im}(z) \geq 0 \), ce qui est vrai MAIS votre conclusion est fausse : NON, l’image réciproque n’est pas le demi-plan défini par \( \mathrm{Im}(z) \geq 0 \) puisque si \(z=10+10i\), alors \(z\) est bien dans ce demi-plan MAIS z ne vérifie pas le point 9 donc \(z\) n’est pas dans \( f^{-1}(\mathbb{U}) \).
Je sais que la réponse attendue est un cercle car :
– j’ai publié le podcast http://www.pcsi2.net/cpge/portfolio/podcast-02-52/ où on vous explique qu’on obtient un cercle avec ce genre d’équation en « \(z\) »
– nous avons vu la technique dans l’exercice 11 (chap3 )en TD (dernières questions)
– j’ai publié un exercice http://www.pcsi2.net/cpge/portfolio/exercice-n06-014/ où l’on traite le même genre d’équation (question 4c).
N’oubliez pas : il n’y a pas de piège ! Comme souvent, nous l’avons déjà vu en cours/TD !!
Bon courage … en musique https://www.youtube.com/watch?v=5dlrXCYrNYI
Image :
Bonjour,
J’avais une question sur la première question du DL
quelle est la piste de raisonnement pour vérifier que f est une bijection de l’ensemble de départ sur l’ensemble d’arrivée?
doit on utiliser le CTVI?
merci d’avance
j’ai d’abord montrer que f est injective ( avec f(x)= f(y) implique x=y) puis qu elle est surjective ( avec f(z)= z’) et donc elle est bijective. Voilà ma méthode 😉 et j’ai pas utilisé le CTVI
Bonjour Myriam.
Vous ne pouvez PAS utiliser ici le CTVI car \(f\) n’est pas continue SUR UN INTERVALLE de \(\mathbb{R}\) à valeurs DANS \(\mathbb{R}\) : à retenir !
Vous pouvez faire comme Mathilde : injectivité puis surjectivité, mais nous avons déjà vu dans un exercice du TD que l’on peut faire plus rapide.
Explications : Soit \(z’\in\mathbb{C}^*\) et \(z\in\mathbb{C}\setminus\{ i \} \). Ecrivez les équivalences :
\[ z’=f(z) \Longleftrightarrow \cdots\ \cdots \Longleftrightarrow z=? \]
Ainsi, tout \(z’\in\mathbb{C}^*\) possède un UNIQUE antécédent (puisque vous avez montré que l’équation \(f(z)=z’ \) a une seul solution) DANS \( \mathbb{C}\setminus\{ i\} \) : n’oubliez pas de montrer que le complexe \(z\) trouvé est bien dans \( \mathbb{C}\setminus\{ i\} \).
Vous devez vous inspirer de l’exercice 11 du TD.
Bon courage !